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| Aufgabe | Es sei [mm] (f_n)_n_\in_\IN [/mm] eine Folge von stetigen Funktionen, die auf einem Intervall I gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergieren. Zeigen Sie, dass
[mm] \lim_{n \to \infty}f_n(a_n) [/mm] = [mm]f(a)[/mm]
für jede Folge [mm] (a_n)_n\in_\IN [/mm] mit Werten in I, die gegen ein a [mm] \in [/mm] I konvergiert. |
Darf ich für den ersten Teil der Aufgabe so argumentieren?:
[mm]\lim_{n \to \infty}f_n(a_n) = \lim_{n \to \infty}f_n(\lim_{n \to \infty}a_n) = f(a)[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:43 Sa 21.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm](f_n)_n_\in_\IN[/mm] eine Folge von stetigen Funktionen,
> die auf einem Intervall I gleichmäßig gegen eine Funktion
> f konvergieren. Zeigen Sie, dass
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}f_n(a_n)[/mm] = [mm]f(a)[/mm]
>
> für jede Folge [mm](a_n)_n\in_\IN[/mm] mit Werten in I, die gegen
> ein a [mm]\in[/mm] I konvergiert.
>
> Darf ich für den ersten Teil der Aufgabe so
> argumentieren?:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty}f_n(a_n) = \lim_{n \to \infty}f_n(\lim_{n \to \infty}a_n) = f(a)[/mm]
Nein.
Betrachte
[mm] $|f_n(a_n)-f(a)|=|f_n(a_n)-f_n(a)+f_n(a)-f(a)|$
[/mm]
FRED
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Vielen Dank für den Ansatz!
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| Aufgabe | | Gilt die Umkehrung? |
Wie ist denn die Frage zu verstehen?
Ist damit gemeint, dass, wenn der Grenzwert [mm]f(a)[/mm] existiert, dann gilt auch $ [mm] \lim_{n \to \infty}f_n(a_n) [/mm] $ ?
Wenn ja, könnte man nicht einfach die Schritte rückwärts gehen?
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Hiho,
> Gilt die Umkehrung?
> Wie ist denn die Frage zu verstehen?
Deine Frage ist berechtigt. Einfach so kann mit dieser Frage vieles gemeint sein.
Ich vermute aber (und das ist m.E. nach das einzig sinnvolle, was gemeint sein könnte), es soll heißen:
Sei [mm] f_n [/mm] eine Folge von stetigen Funktionen und sei [mm] $\lim_{n\to\infty} f_n(a_n) [/mm] = f(a)$ für jede Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] mit Werten in I, die gegen ein $a [mm] \in [/mm] I$ konvergiert, dann ist die Konvergenz [mm] $f_n \to [/mm] f$ gleichmäßig.
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:08 So 22.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Interpretation von Gono ist richtig.
Tipp: Widerspruchsbeweis.
FRED
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Widerspruch also...
$ [mm] |f_n(a_n)-f_n(a)+f_n(a)-f(a)| [/mm] $
$ [mm] \le |f_n(a_n)-f_n(a)| [/mm] + [mm] |f_n(a)-f(a)| [/mm] $
Das heißt:
$ [mm] \exists \varepsilon [/mm] > 0: [mm] \forall n_0 \in\IN: \exists [/mm] n [mm] \le n_0:\exists \in [/mm] I: [mm] |f_n(a_n)-f_n(a)| [/mm] > [mm] \varepsilon [/mm] $
Ist das schon der Widerspruch?
(Weil dann $ [mm] \lim_{n \to \infty}f_n(a_n) [/mm] = f(a)$ nicht mehr gilt?)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:20 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Widerspruch also...
>
> [mm]|f_n(a_n)-f_n(a)+f_n(a)-f(a)|[/mm]
> [mm]\le |f_n(a_n)-f_n(a)| + |f_n(a)-f(a)|[/mm]
>
> Das heißt:
???????
>
> [mm]\exists \varepsilon > 0: \forall n_0 \in\IN: \exists n \le n_0:\exists \in I: |f_n(a_n)-f_n(a)| > \varepsilon[/mm]
Das ist Unsinn.
Formuliere mal: [mm] (f_n) [/mm] konv. auf I nicht glm. gegen f.
>
> Ist das schon der Widerspruch?
Nein.
FRED
> (Weil dann [mm]\lim_{n \to \infty}f_n(a_n) = f(a)[/mm] nicht mehr
> gilt?)
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Danke für deine/eure Hilfe.
Hab das jetzt mit einem Gegenbeispiel widerlegt.
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