Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:20 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Tyson |
| Aufgabe | Hallo leute ich habe gerade wieder probleme bei einer Konvergenz aufgabe:
Überprüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz:
[mm] \summe_{n=3}^{unendlich} \bruch{(-1)^n * (n+5 )}{n^2 - 4} [/mm]
Hier muss ich doch das Leibnizkriterium anwenden oder?
Zuerst mal zeigen das die Reihe monoton fallend ist?
Für hilfe wär eich dankbar. |
Habe die frage nicht gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Mo 25.02.2013 | | Autor: | chrisno |
> Hallo leute ich habe gerade wieder probleme bei einer
> Konvergenz aufgabe:
>
> Überprüfen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz oder
> Divergenz:
> [mm]\summe_{n=3}^{unendlich} \bruch{(-1)^n * (n+5 )}{n^2 - 4}[/mm]
>
> Hier muss ich doch das Leibnizkriterium anwenden oder?
Einen Versuch ist es wert.
>
> Zuerst mal zeigen das die Reihe monoton fallend ist?
Die Reihe? Schreib mal auf, was monoton fallend sein soll.
>
> Für hilfe wär eich dankbar.
> Habe die frage nicht gestellt.
Das ist widersprüchlich. Stellst Du sie nun oder nicht?
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> Habe die frage nicht gestellt.
Hallo,
könntest Du mal erklären, was Du damit meinst.
Wer hat die Frage denn gestellt?
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Tyson |
[mm] \bruch{(n+5)}{n^2 -4} [/mm]
Wie zeige ich das das monoton Fallend ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:55 Mo 25.02.2013 | | Autor: | M.Rex |
> [mm]\bruch{(n+5)}{n^2 -4}[/mm]
>
> Wie zeige ich das das monoton Fallend ist?
Nutze die übliche Defintion für fallende Folgen, also [mm] a_{n}
Zeige also, dass
[mm] \frac{n+5}{n^{2}-4}<\frac{(n+1)+5}{(n+1)^{2}-4} [/mm] zu einer Wahren Aussage für alle [mm] n\in\mathbb{N} [/mm] umformbar ist.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Mo 25.02.2013 | | Autor: | Tyson |
>
> > [mm]\bruch{(n+5)}{n^2 -4}[/mm]
> >
> > Wie zeige ich das das monoton Fallend ist?
>
> Nutze die übliche Defintion für fallende Folgen, also
> [mm]a_{n}
> Zeige also, dass
> [mm]\frac{n+5}{n^{2}-4}<\frac{(n+1)+5}{(n+1)^{2}-4}[/mm] zu einer
> Wahren Aussage für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] umformbar ist.
>
> Marius
>
Die ist ja wahr oder das sieht man ja jetzt . Oder wie soll ich das noch genau zeigen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:01 Di 26.02.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tyson!
Ganz soooo offensichtlich finde ich das nicht. Das solltest Du durch einige Umformungen zeigen, bis eine wirklich offensichtlich wahre Aussage entsteht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Di 26.02.2013 | | Autor: | Tyson |
> >
> > > [mm]\bruch{(n+5)}{n^2 -4}[/mm]
> > >
> > > Wie zeige ich das das monoton Fallend ist?
> >
> > Nutze die übliche Defintion für fallende Folgen, also
> > [mm]a_{n}
> > Zeige also, dass
> > [mm]\frac{n+5}{n^{2}-4}<\frac{(n+1)+5}{(n+1)^{2}-4}[/mm] zu
> einer
> > Wahren Aussage für alle [mm]n\in\mathbb{N}[/mm] umformbar ist.
> >
> > Marius
> >
> Die ist ja wahr oder das sieht man ja jetzt . Oder wie soll
> ich das noch genau zeigen?
[mm] \bruch{n+6}{n^2 +2n +1 -4}= \bruch{n+6}{n^2 +2n -3}
[/mm]
Jetzt könnte ich zähler und nenner durch [mm] n^2 [/mm] teilen dann geht der Bruch gegen 0
Stimmt das so?
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Hi!
> > > Nutze die übliche Defintion für fallende Folgen, also
> > > [mm]a_{n}
> > > Zeige also, dass
> > > [mm]\frac{n+5}{n^{2}-4}<\frac{(n+1)+5}{(n+1)^{2}-4}[/mm] zu
> [mm]\bruch{n+6}{n^2 +2n +1 -4}= \bruch{n+6}{n^2 +2n -3}[/mm]
>
> Jetzt könnte ich zähler und nenner durch [mm]n^2[/mm] teilen dann
> geht der Bruch gegen 0
>
Mache einfach mit deiner Ungleichung weiter. Du brauchst hier keine Grenzwertbetrachtungen.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Di 26.02.2013 | | Autor: | Tyson |
> Hi!
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>
> > > > Nutze die übliche Defintion für fallende Folgen, also
> > > > [mm]a_{n}
> > > > Zeige also, dass
> > > > [mm]\frac{n+5}{n^{2}-4}<\frac{(n+1)+5}{(n+1)^{2}-4}[/mm]
> zu
>
>
> > [mm]\bruch{n+6}{n^2 +2n +1 -4}= \bruch{n+6}{n^2 +2n -3}[/mm]
> >
> > Jetzt könnte ich zähler und nenner durch [mm]n^2[/mm] teilen dann
> > geht der Bruch gegen 0
> >
>
> Mache einfach mit deiner Ungleichung weiter. Du brauchst
> hier keine Grenzwertbetrachtungen.
>
> Valerie
>
Was muss ich denn genau als nächstes machen ?
Jetzt habe ich langsam keine ideen mehr.
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Hallo Tyson,
Du warst doch dabei, Monotonie nachzuweisen.
> > > > > Nutze die übliche Defintion für fallende Folgen, also
> > > > > [mm]a_{n}
> > > > > Zeige also, dass
> > > > >
> [mm]\frac{n+5}{n^{2}-4}<\frac{(n+1)+5}{(n+1)^{2}-4}[/mm]
Diese Ungleichung ist immer noch zu zeigen. Es reicht nicht, dass Du schreibst: das ist offensichtlich wahr.
> Was muss ich denn genau als nächstes machen ?
Die Ungleichung so umformen, dass man erkennt, ob sie wahr ist oder nicht. Das haben Loddar und Valerie Dir bereits geschrieben.
> Jetzt habe ich langsam keine ideen mehr.
Das Thema heißt ![[]](/images/popup.gif) Äquivalenzumformungen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Di 26.02.2013 | | Autor: | Tyson |
[mm] (n+1)^2-4*(n+5) [/mm] < [mm] (n+6)*(n^2 [/mm] -4)
[mm] n^2+2n+1 [/mm] -4n -20 < [mm] n^3 [/mm] -4n [mm] +6n^2 [/mm] -24
[mm] n^2 [/mm] -2n -19 < [mm] n^3 [/mm] -4n [mm] +6n^2 [/mm] -24
[mm] -5n^2 -n^3 [/mm] +2n +5 <= 0
Reicht das ?
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Hallo nochmal,
Nein, das reicht nicht. Es ist nämlich falsch.
> [mm](n+1)^2-4*(n+5)[/mm] < [mm](n+6)*(n^2[/mm] -4)
Hier fehlen Klammern:
[mm] ((n+1)^2-4)*(n+5)<(n+6)*(n^2-4)
[/mm]
Deswegen ist alles andere hiernach Quatsch.
Außerdem solltest Du feststellen, dass die obige Umformung nur für n>2 gilt. Auch das gehört zur Lösung.
Grüße
reverend
> [mm]n^2+2n+1[/mm] -4n -20 < [mm]n^3[/mm] -4n [mm]+6n^2[/mm] -24
>
> [mm]n^2[/mm] -2n -19 < [mm]n^3[/mm] -4n [mm]+6n^2[/mm] -24
>
> [mm]-5n^2 -n^3[/mm] +2n +5 <= 0
>
> Reicht das ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Di 26.02.2013 | | Autor: | Tyson |
Wieso für n> 2 ??
Das verstehe ich nicht.
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Hallo,
> Wieso für n> 2 ??
>
> Das verstehe ich nicht.
Gegenfrage: hast du dir durchgelesen, was man unter einer Äquivalenzumformung versteht?
Gruß, Diophant
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> Wieso für n> 2 ??
>
> Das verstehe ich nicht.
Nun da die Unendliche Reihe im Nenner ein Binom besitzt, um genau zu sein die 3. Binomische Formel [mm] (a+b)(a-b)=(a^{2}-b^{2}). [/mm] Aber die Reihe beginnt ja bei n=3 bis [mm] +\infty.
[/mm]
Mein Tipp:
Allgemein gilt: (Hinreichende Bedingung) Quotientenkriterium: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] | = q < 1 , ist q = 1 keine Aussage und q > 1 besteht eine Divergenz.
Schau dir die Reihe genau an, da die Reihe ALTERNIEREND ist [mm] \Rightarrow [/mm] (Hinreichende Bedingung) Eine alternierende Reihe konvergiert, wenn
die Zahlenfolge [mm] a_{n} [/mm] monoton abnimmt: [mm] a_{n}\ge a_{n+1} [/mm] , n=1,2,... und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0
Du kannst also die Aufgabe mit Quotientenkriterium lösen, wenn q<1 oder q>1 ist. Im Fall q=1 überprüfst den Greznwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = 0 ist und die Zahlenfolge monoton abnimmt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:30 Di 26.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Wieso für n> 2 ??
> >
> > Das verstehe ich nicht.
>
> Nun da die Unendliche Reihe im Nenner ein Binom besitzt, um
> genau zu sein die 3. Binomische Formel
> [mm](a+b)(a-b)=(a^{2}-b^{2}).[/mm] Aber die Reihe beginnt ja bei
> n=3 bis [mm]+\infty.[/mm]
>
>
> Mein Tipp:
> Allgemein gilt: (Hinreichende Bedingung)
> Quotientenkriterium:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] | = q <
> 1 , ist q = 1 keine Aussage und q > 1 besteht eine
> Divergenz.
> Schau dir die Reihe genau an, da die Reihe ALTERNIEREND
> ist [mm]\Rightarrow[/mm] (Hinreichende Bedingung) Eine alternierende
> Reihe konvergiert, wenn
> die Zahlenfolge [mm]a_{n}[/mm] monoton abnimmt: [mm]a_{n}\ge a_{n+1}[/mm] ,
> n=1,2,... und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = 0
>
> Du kannst also die Aufgabe mit Quotientenkriterium lösen
Nein. Denn es ist $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] $ |=1
FRED
> oder du überprüfst den Greznwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] = 0 ist oder die
> Zahlenfolge monoton abnimmt.
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:35 Di 26.02.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo word-life,
wie FRED schon geschrieben hat: das Quotientenkriterium funktioniert hier nicht!
Gruß, Diophant
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