Konvergenz - Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren
1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}}[/mm] |
Guten Abend.
Ich hoffe Ihr könnt mir hier weiterhelfen :)
Zu 1:
Ansatz I:
Wenn ich mir [mm]a_n[/mm] anschaue, dann denke ich an den Trick mit der 3.Binomischen Formel.
Ansatz II:
Die geometrische Reihe kann ich vergessen da es kein Exponent n gibt, aber die harmonische Reihe könnte es doch vielleicht sein?
Was meint ihr zu den Ansätzen und was wäre euer Ansatz?
Zu 2:
Ansatz:
Hier könnte ich erstmal im Zähler die 2.Binomische Formel anwenden.
[mm]\bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}} = \bruch{n -4\wurzel{n} + 4}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}} [/mm]
Aber hier sehe ich nun gar nichts..
Habt Ihr einen Tipp?
Gruß,
Lisa
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
also mir sieht das auf den ersten Blick beides ziemlich divergent aus. Aber genauer kann das nur eine Überprüfung zeigen...
> Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren
>
> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
>
> 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}}[/mm]
>
> Guten Abend.
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir hier weiterhelfen :)
>
> Zu 1:
>
> Ansatz I:
> Wenn ich mir [mm]a_n[/mm] anschaue, dann denke ich an den Trick mit
> der 3.Binomischen Formel.
Wunderbar. Das funktioniert. Machs doch mal. 
> Ansatz II:
> Die geometrische Reihe kann ich vergessen da es kein
> Exponent n gibt, aber die harmonische Reihe könnte es doch
> vielleicht sein?
Richtig gerochen. Wie kommst Du darauf?
> Was meint ihr zu den Ansätzen und was wäre euer Ansatz?
Ich würde Deinen Ansatz I nehmen.
> Zu 2:
>
> Ansatz:
>
> Hier könnte ich erstmal im Zähler die 2.Binomische Formel
> anwenden.
> [mm]\bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}} = \bruch{n -4\wurzel{n} + 4}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}}[/mm]
>
> Aber hier sehe ich nun gar nichts..
> Habt Ihr einen Tipp?
Ich würde erst einmal grob abschätzen.
Der Zähler verhält sich wie die höchste Potenz, [mm] \wurzel{n}^2=n.
[/mm]
Im Nenner stehen zwei Summanden von der Größenordnung [mm] n^2, [/mm] zusammen [mm] 2n^2.
[/mm]
Insgesamt wird sich das Ganze also etwa verhalten wie [mm] \bruch{n}{2n^2}=\bruch{1}{2n}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}
[/mm]
Die Frage ist dann: wie zeigt man das?
Hier bietet sich das Vergleichskriterium an, in der Gestalt des Minorantenkriteriums. Man muss eine Reihe finden, die im Prinzip die harmonische ist (von konstanten Faktoren oder "Verschiebungen" à la [mm] \tfrac{1}{n-4} [/mm] abgesehen), die wenigstens ab einem gewissen N dann kleiner ist als die gegebene.
Da [mm] \wurzel{n}-2 [/mm] erst ab n=4 monoton wächst und für n=4 noch 0 ist, würde ich von vornherein nur für [mm] n\ge{5} [/mm] untersuchen. Und der mögliche konstante Vorfaktor ergibt sich schon aus der ersten Abschätzung.
Wir suchen also ein k, so dass [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{n\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2+\wurzel{n^4+1}} [/mm] ist. Das soll für alle [mm] n\ge{N} [/mm] mit [mm] N\ge{5} [/mm] gelten.
Setzen wir doch einfach mal n=5 ein:
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{5\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{5}-2)^2}{5^2+\wurzel{5^4+1}}\approx{0,00111}
[/mm]
Hm. Das ist eine blöde Größenordnung. Man bräuchte ein ziemlich großes positives k (mindestens 444). Deswegen springen wir einfach mal nach vorn. Vielleicht sieht die Lage da besser aus. Nehmen wir mal n=20.
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{20\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{20}-2)^2}{20^2+\wurzel{20^4+1}}\approx{0,00764}
[/mm]
Schon besser. Da reicht [mm] k\ge{46}.
[/mm]
Also mit mehr Mut weiter nach vorn. Sagen wir mal n=1000.
[mm] \bruch{1}{2}*\bruch{1}{1000\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{1000}-2)^2}{1000^2+\wurzel{1000^4+1}}\approx{0,000439}
[/mm]
Hm. Das ist für [mm] k\ge{139} [/mm] erfüllt. Das ist nicht die erwartete Entwicklung. Dieser Weg führt also nicht so recht zum Ziel.
Vielleicht ist es besser, den Vorfaktor zu verkleinern, also nicht nur [mm] \tfrac{1}{2} [/mm] anzusetzen.
Die Richtung jedenfalls ist klar. Die Frage ist eben nur: wie findet man jetzt eine passende und ziemlich harmonische Minorante?
Grüße
reverend
|
|
|
| |
|
Hallo reverend und vielen Dank für deine Antwort :)
> > Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren
> >
> > 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
> >
> > 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}}[/mm]
>
> >
> > Guten Abend.
> >
> > Ich hoffe Ihr könnt mir hier weiterhelfen :)
> >
> > Zu 1:
> >
> > Ansatz I:
> > Wenn ich mir [mm]a_n[/mm] anschaue, dann denke ich an den Trick
> mit
> > der 3.Binomischen Formel.
>
> Wunderbar. Das funktioniert. Machs doch mal.
Okay :)
[mm](\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1) = (\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1) * \bruch{(\wurzel{1+\bruch{1}{n}} + 1)}{(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)} = \bruch{1 + \bruch{1}{n} - 1}{(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1)} = \bruch{\bruch{1}{n}}{\wurzel{1+\bruch{1}{n}}+1}[/mm]
Der Grenzwert vom Zähler ist 0 und der vom Nenner ist 2. Also eine Nullfolge.
Wie sehe ich hier Divergenz?
> > Ansatz II:
> > Die geometrische Reihe kann ich vergessen da es kein
> > Exponent n gibt, aber die harmonische Reihe könnte es doch
> > vielleicht sein?
>
> Richtig gerochen. Wie kommst Du darauf?
Ganz primitiv wegen [mm]\bruch{1}{n}[/mm]. :P
Wie kommt man sonst drauf?
> > Zu 2:
> >
> > Ansatz:
> >
> > Hier könnte ich erstmal im Zähler die 2.Binomische Formel
> > anwenden.
> > [mm]\bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}} = \bruch{n -4\wurzel{n} + 4}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}}[/mm]
>
> >
> > Aber hier sehe ich nun gar nichts..
> > Habt Ihr einen Tipp?
>
> Ich würde erst einmal grob abschätzen.
> Der Zähler verhält sich wie die höchste Potenz,
> [mm]\wurzel{n}^2=n.[/mm]
> Im Nenner stehen zwei Summanden von der Größenordnung
> [mm]n^2,[/mm] zusammen [mm]2n^2.[/mm]
> Insgesamt wird sich das Ganze also etwa verhalten wie
> [mm]\bruch{n}{2n^2}=\bruch{1}{2n}=\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Die Frage ist dann: wie zeigt man das?
> Hier bietet sich das Vergleichskriterium an, in der
> Gestalt des Minorantenkriteriums. Man muss eine Reihe
> finden, die im Prinzip die harmonische ist (von konstanten
> Faktoren oder "Verschiebungen" à la [mm]\tfrac{1}{n-4}[/mm]
> abgesehen), die wenigstens ab einem gewissen N dann kleiner
> ist als die gegebene.
>
> Da [mm]\wurzel{n}-2[/mm] erst ab n=4 monoton wächst
Warum?
n = 0 -> -2
n = 1 -> -1
n = 2 -> ~-0.6
n = 3 -> ~-0.3
n = 4 -> 0
Das wächst doch auch vorher? Oder verstehe ich etwas falsch?
> und für n=4
> noch 0 ist, würde ich von vornherein nur für [mm]n\ge{5}[/mm]
> untersuchen. Und der mögliche konstante Vorfaktor ergibt
> sich schon aus der ersten Abschätzung.
>
> Wir suchen also ein k, so dass
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{n\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2+\wurzel{n^4+1}}[/mm]
Gehört [mm]\bruch{1}{n \pm k}[/mm] noch zur allgemeinen harmonischen Reihe? Ich habe Angst, dass mir das an der Prüfung angestrichen wird.. Muss ich das begründen, oder ist das klar?
> ist. Das soll für alle [mm]n\ge{N}[/mm] mit [mm]N\ge{5}[/mm] gelten.
>
> Setzen wir doch einfach mal n=5 ein:
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{5\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{5}-2)^2}{5^2+\wurzel{5^4+1}}\approx{0,00111}[/mm]
>
> Hm. Das ist eine blöde Größenordnung. Man bräuchte ein
> ziemlich großes positives k (mindestens 444). Deswegen
> springen wir einfach mal nach vorn. Vielleicht sieht die
> Lage da besser aus. Nehmen wir mal n=20.
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{20\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{20}-2)^2}{20^2+\wurzel{20^4+1}}\approx{0,00764}[/mm]
> Schon besser. Da reicht [mm]k\ge{46}.[/mm]
>
> Also mit mehr Mut weiter nach vorn. Sagen wir mal n=1000.
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\bruch{1}{1000\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{1000}-2)^2}{1000^2+\wurzel{1000^4+1}}\approx{0,000439}[/mm]
> Hm. Das ist für [mm]k\ge{139}[/mm] erfüllt. Das ist nicht die
> erwartete Entwicklung. Dieser Weg führt also nicht so
> recht zum Ziel.
>
> Vielleicht ist es besser, den Vorfaktor zu verkleinern,
> also nicht nur [mm]\tfrac{1}{2}[/mm] anzusetzen.
>
> Die Richtung jedenfalls ist klar. Die Frage ist eben nur:
> wie findet man jetzt eine passende und ziemlich harmonische
> Minorante?
Ich könnte "probieren", also vielleicht 1/4, 1/100.
Oder [mm]C*\bruch{1}{n\pm{k}}<\bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2+\wurzel{n^4+1}}[/mm] das hier vielleicht solange umformen bis ich passende C sehe?
Ich bin mir nicht sicher, was ich machen soll.
Dankeschön :)
Liebe Grüße,
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:03 Sa 12.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo schachuzipus :)
Vielen Dank für deine Antwort, ich konnte alle nachvollziehen :)
Gruß,
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Sa 12.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> ...
> > Da [mm]\wurzel{n}-2[/mm] erst ab n=4 monoton wächst
>
> Warum?
> n = 0 -> -2
> n = 1 -> -1
> n = 2 -> ~-0.6
> n = 3 -> ~-0.3
> n = 4 -> 0
>
> Das wächst doch auch vorher? Oder verstehe ich etwas
> falsch?
nö, Du verstehst nix falsch, und weil [mm] $\sqrt{\cdot}$ [/mm] monoton wächst, tut
[mm] $\sqrt{\cdot}-2$ [/mm] das auch (jeweils auf [mm] $\IN\,,$ [/mm] auf [mm] $\IN_0$ [/mm] oder sogar auf
[mm] $[0,\infty)\,$).
[/mm]
Vielleicht meinte reverend einfach [mm] $(\sqrt{n}-2)^2$... [/mm] (ich hab' jetzt
reverends Antwort nicht weiter durchgeguckt, daher kannst Du selber
prüfen, ob das dann mehr Sinn macht, oder reverend meldet sich
nochmal...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 So 13.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:06 Fr 11.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1 ist gut, erst mal so umzuformen
2 teile durch Z und N durch n,dann Richtung harmonische Reihe den Bruch verkleinern.
denk dran, da muss nur ein beliebiges vielfaches von 1/n stehen.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Fr 11.01.2013 | | Autor: | LisaWeide |
Hallo leduart :)
Ich habe es probiert :)
Liebe Grüße,
Lisa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
> Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren
>
> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
>
> 2. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}}[/mm]
>
> Guten Abend.
>
> Ich hoffe Ihr könnt mir hier weiterhelfen :)
mal unabhängig von allem bereits gesagten, und auch unabhängig davon,
dass ihr das genannte Kriterium so vielleicht noch nicht benutzen dürft:
Erinnerst Du Dich, dass ich Dich schonmal auf das
Vergleichskriterium
hingewiesen habe?
Denn nach wie vor: Damit kann man sich überlegen, mit welchen Reihen
man die genannten in sinnvoller Weise vergleichen kann - jedenfalls bei
der zweiten Reihe sieht man, dass diese sich in sinnvoller Weise mit
[mm] $$\sum n/\sqrt{n^4}=\sum [/mm] 1/n$$
vergleichen läßt. (Bei der ersten muss man sich vielleicht ein wenig mehr
überlegen, aber ich finde auch, dass man da erstmal mit der bin. Formel
rangehen sollte...)
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Lisa,
ich versuche mich auch mal am Finden einer Minorante in Form der harmonischen Reihe. Das Ganze wird allerdings recht informell sein, da ich gerade wenig Zeit habe.
Also ab einem gewissen n gilt:
[mm] \bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}} \ge \bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2(1 + \wurzel{\bruch{n^4 + 1}{n^4})}} [/mm] = [mm] \bruch{n-2\sqrt{n}+4}{n^2(1 + \wurzel{\bruch{n^4 + 1}{n^4})}} [/mm] = [mm] \bruch{n(1-2\sqrt{\bruch{n}{n^2}}+\bruch{4}{n})}{n^2(1 + \wurzel{\bruch{n^4 + 1}{n^4})}}= \bruch{1-2\sqrt{\bruch{n}{n^2}}+\bruch{4}{n}}{n(1 + \wurzel{\bruch{n^4 + 1}{n^4})}} \ge \bruch{1-\bruch{1}{2}}{n(1 + \wurzel{1+\bruch{1}{n^4})}} \ge \bruch{1-\bruch{1}{2}}{n(1 + \wurzel{\bruch{4n^4-1}{n^4}+\bruch{1}{n^4})}} [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{1}{2}}{n(1 + \wurzel{\bruch{4n^4}{n^4})}} [/mm] = [mm] \bruch{1-\bruch{1}{2}}{n(1 + 2)} [/mm] =
= [mm] \bruch{1-\bruch{1}{2}}{3n}
[/mm]
Kann aber gut sein, dass da ein Fehler drinnen ist. Und sicherlich müsste man auch noch angeben ab welchem n das ganze gilt. Da kannst du dich ja dran versuchen :).
Grüße
EDIT: Vorzeichenfehler ist korrigiert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 21:22 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Trollgut,
> Hallo Lisa,
>
> ich versuche mich auch mal am Finden einer Minorante in
> Form der harmonischen Reihe. Das Ganze wird allerdings
> recht informell sein, da ich gerade wenig Zeit habe.
>
> Also ab einem gewissen n gilt:
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2 + \wurzel{n^4 + 1}} \ge \bruch{(\wurzel{n}-2)^2}{n^2(1 + \wurzel{\bruch{n^4 + 1}{n^4})}}[/mm] = [mm]\bruch{n-2\sqrt{n}\red{-4}}{n^2(1 + \wurzel{\bruch{n^4 + 1}{n^4})}}[/mm]
> ...
> Kann aber gut sein, dass da ein Fehler drinnen ist.
da ist jedenfalls schonmal ein erster Fehler (wenn ich später Zeit habe,
gucke ich mir das nochmal an, ob das wichtig ist):
Wenn Du [mm] $\red{\;=\;}$ [/mm] schreibst, sollte da auch [mm] $\red{+4}$ [/mm] stehen. Aber
mach' aus dem [mm] $\red{\;=\;}$ [/mm] ein [mm] $\red{\;\ge\;},$ [/mm] und dann geht's erstmal in Ordnung...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Fr 11.01.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lisa,
rechnen wir mal etwas zur ersten Reihe:
> Bestimmen Sie, ob die folgenden Reihen konvergieren
>
> 1. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1)[/mm]
[mm] $$\sqrt{1+1/n}-1=\frac{(\sqrt{1+1/n}-1)*(\sqrt{1+1/n}+1)}{(\sqrt{1+1/n}+1)}=\frac{1}{n}*\frac{1}{\sqrt{(n+1)/n}+1}=\frac{1}{\sqrt{n}}*\frac{1}{\sqrt{n+1}}\,.$$
[/mm]
Daher liegt es nahe, diese Reihe mit
[mm] $$\sum \frac{1}{\sqrt{n^2}}=\sum \frac{1}{n}$$
[/mm]
zu vergleichen. [mm] ($\to$ [/mm] Vergleichskriterium!)
Übrigens, in der Tat
[mm] $$\left(\wurzel{1+\bruch{1}{n}}-1\right)/(1/n)=\sqrt{n^2+n}-n=\frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to [/mm] 1/2 > [mm] 0\;\;\; \text{ bei }\;\;\; [/mm] $n [mm] \to \infty\,.$$
[/mm]
P.S. Natürlich kannst Du auch mit obiger Rechnung direkt eine andere
Abschätzung machen, die zielführend ist. Mir geht's nur drum, dass Du auch
hier siehst, dass das Vergleichskriterium mal wieder enorm hilfreich ist...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
