Konvergenz 2 Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Do 18.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | [mm] (a_n )_{n\in\IN} [/mm] sei eine gegen Null konvergente Folge und [mm] (b_n)_{n\in\IN} [/mm] sei eine beschränkte Folge.
Zeigen Sie: Die Folge [mm] (a_n*b_n )_{n\in\IN} [/mm] konvergiert gegen 0. |
Hallo,
leider habe ich keine Ideen, wie man das zeigen kann und werde sehr dankbar für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Do 18.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Immer mit den Definitionen arbeiten. Dass man das lernt, dazu sind die Aufgaben. Was heisst es [mm] a_n [/mm] konv gegen 0 exakt aufgeschrieben? was [mm] b_n [/mm] beschraenkt, was [mm] a_n*b_n [/mm] konv gegen 0. Wenn du das hingeschrieben hast, dann starrt dir die Loesung ins Auge.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 Do 18.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
(1) [mm] a_n [/mm] konvergiert gegen 0 : [mm] |a_n|<\epsilon
[/mm]
(2) [mm] b_n [/mm] ist beschränkt : [mm] |b_n|\le [/mm] K
(3) [mm] a_n*b_n [/mm] konvergiert gegen 0: [mm] |a_n*b_n|<\epsilon[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Do 18.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das hast du viel zu verkuerzt aufgeschrieben, was ist denn dein n, dein [mm] \epsilon?
[/mm]
So ist das noch keine Definition;
die faengt so an: zu jedem [mm] \epsilon>0 [/mm] existiert....
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Do 18.06.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> (1) [mm]a_n[/mm] konvergiert gegen 0 : [mm]|a_n|<\epsilon[/mm]
> (2) [mm]b_n[/mm] ist beschränkt : [mm]|b_n|\le[/mm] K
> (3) [mm]a_n*b_n[/mm] konvergiert gegen 0: [mm]|a_n*b_n|<\epsilon[/mm]
das von Dir gesagte ist zu grob. Etwas genauer:
(1) gilt, wenn [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, ist, ab einem [mm] $N=N(\epsilon)\,.$ [/mm] (D.h. es existiert ein (i.a.) von [mm] $\epsilon$ [/mm] abhängiges [mm] $N\,$ [/mm] so, dass [mm] $|a_n| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt.)
(2) gilt für alle [mm] $n\,.$
[/mm]
Damit kannst Du den Beweis auch schon erbringen:
Zu zeigen ist:
Ist [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,$ [/mm] beliebig, aber fest, dann existiert ein [mm] $N=N(\epsilon)$, [/mm] so dass [mm] $|a_n*b_n| [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge N\,.$
[/mm]
Also:
Sei [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest. Setze [mm] $\tilde{\epsilon}:=\epsilon/K$ [/mm] (o.E. kann $K > [mm] 0\,$ [/mm] angenommen werden!).
Dann ist [mm] $\tilde{\epsilon} [/mm] > 0$. Zu [mm] $\tilde{\epsilon} [/mm] > 0$ wähle [mm] $N=N(\tilde{\epsilon})$ [/mm] nach (1). Zeige, dass damit dann
[mm] $$|a_n*b_n| [/mm] < [mm] \epsilon \;\; \text{ für alle }\;\;n \ge [/mm] N$$
folgt.
P.S.: Zur Erinnerung:
[mm] $$|a_n*b_n|=|a_n|*|b_n|\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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