Konvergenz Beweise < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 02.11.2005 | | Autor: | AriR |
Habe diese frage in keinem anderen forum gestellt.
Hey Leute,
wenn ich Beweisen möchte, dass eine beliebige Folge gegen eine Zahl konvergiert, gibts dann da einen "standard Weg" wie man an die Aufgabe bearbeiten kann um ans Ziel zu kommen, oder ist das jedes mal anders?
Danke im voraus...
gruß ari
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Hallo Ari,
also einen Standardweg gibt es da nicht und sei dir sicher, dass du nicht von allen konvergenten Folgen stets problemlos einen Grenzwert ermitteln kannst.
Ansonsten gibt es da ein paar nette Hilfsmittel.
1. für Nullfolgen kannst du mit dem Archimedes-Axiom argumentieren
Also [mm] \exists\varepsilon>0 [/mm] für das z.B. [mm] 1/n<\varepsilon [/mm] für alle n. Dann stellt man das nach n um und argumentiert mit Archimedes.
2. Grenzwertsätze: sind ein durchaus hilfreiches Mittel
3. l'Hospital: auch sehr hilfreich, wenn man die Regeln anwenden DARF, sprich die Regeln von de l'Hospital werden eigentlich für Funktionen definiert. Das kann man argumentativ auch für Folgen glaubhaft machen. Außerdem müssen Quotienten der Form [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] vorliegen., mind. ein mal differenzierbar usw...
Das musst du nachlesen!
Das sind doch schon eine Menge kleiner Helfer, mit denen du als Nichtmathematiker gut zurecht kommen solltest.
VG mathmetzsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 02.11.2005 | | Autor: | AriR |
vielen danke schonmal für die hilfen.
eine frage bitte noch. bei der sache mit dem archimedischen axiom und der nullfolge: so wie ich das axoim verstand habe, sagt das aus, dass wenn ich 2 reelle zahlen a,b ist es immer möglich mit hilfe einer natürlich zahl n folgende aussage zu "entwickeln" nx > y.
Aber irgendwie kann ich diesen Zusammenhang nicht ganz mit der Definition von konvergenzen vereinbaren.
Angenommen ich habe die Funktion [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und weiß, dass sein Grenzwert 0 ist. Dann verstehe ich auch noch, dass ich zeigen muss, dass [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon. [/mm] Und das dies Aussage wahr ist, kann man so wie ich es verstanden habe dadurch begründen, dass NN > [mm] \bruch{1}{\varepsilon}. [/mm] Nur warum genau ist das dann begründet und "wo" kommt dieses NN > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] genau her? geht man einfach davon aus, dass man 2 reele Zahlen [mm] \varepsilon [/mm] und 1 hat und sagt [mm] N*\varepsilon [/mm] >1 und formt das zu NN > [mm] \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] ??
wäre nett, von du das auch noch beantworten würdest.. gruß ari
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Hallo,
also das Archimedes-Axiom wird bei der Anordnung von [mm] \IR [/mm] eingeführt und besagt, dass zu jeder reellen Zahl r eine natürliche Zahl n existiert mit n-a>0,
d.h. es gibt zu jeder reellen Zahl eine nächst größere natürliche Zahl.
Wenn du also beispielsweise gezeigt hast, dass [mm] n>1/\varepsilon [/mm] , dann ist die gesuchte Indexzahl [mm] N_{\varepsilon}
Und das gilt wg. dem Archimedes-Axiom oben.
Da kannst ja mal annehmen 1 wäre Grenzwert der Folge. Dann wäre
[mm] |1/n-1|<\varepsilon
[/mm]
und das Axiom ließe sich nicht mehr anwenden!
Ich hoffe, du hast es jetzt verstanden.
VG mathmetzsch
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