Konvergenz, Divergenz... < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:51 Do 27.11.2008 | | Autor: | Rowddy |
| Aufgabe | Ich soll folgenede Folgen auf Konvergenz, bestimmte Divergenz, Beschränktheit und Monotonie untersuchen. Außerdem soll ich alle Werte bestimmen, die als Limes von Teilfolgen auftreten können.
1. [mm] \bruch{(-1^)j}{j} [/mm] für [mm] j=1,...,\infty
[/mm]
2. [mm] \bruch{1}{j!} [/mm] für [mm] j=1,...,\infty
[/mm]
3. [mm] j^{(-1)^j} [/mm] für [mm] j=1,...,\infty
[/mm]
4. [mm] -\wurzel[3]{j} [/mm] für [mm] j=1,...,\infty [/mm] |
Hallo!
1.
Hier weiß ich, dass das eine alternierende geometrische Folge ist, mit |q|<1, also ist der Grenzwert ja 0, und das auch für die jeweiligen Teilfolgen mit positivem und negativem Vorzeichen. Wie zeige ich das? Die Beschränktheit ist dann bei K=1 vorzufinden, ja? Nur wie untersuche ich das? Und sie ist ja nicht monoton, das ist klar, nur wie zeige ich das? (Wie ihr seht habe ich mein Problem beim Zeigen von Sachen, und Beweisen.)
2.
Diese Reihe wird wohl auch gegen 0 gehen, nur was für Teilfolgen könnte ich da nehmen? Die Folge hat bei 1 ne obere Schranke, und ist denke ich auch monoton fallend, soweit so gut. Nur wieder: Wie zeige ich das?
3.
Das ist eine Folge, die im Exponenten alterniert... Also ist sie schon mal nicht monoton. Die 2 Teilfolgen mit negativem und positivem Exponenten gehen gegen 0 bzw. unendlich... Die Folge selbst kann somit nicht divergieren. Beschränkt.... bei 0, nach unten. Denke ich mal. Nur wie zeigen mal wieder?
4.
Hier ist die Frage was denn nun stärker wirkt, das j alleine oder die 3. Wurzel... davon hängt es ja ab, ob und wie die Folge konvergiert oder bestimmt divergiert. Beschränkt... keine Ahnung, Monotonie auch nicht, obwohl ich schätze daqss sie monoton fällt, weil die Wurzel sich durchsetzt.... aber... zeigen? OO
Naja, wäre wirklich sehr dankbar für eine Antwort WIE man sowas zeigt, denn so ne richtige Ahnung hab ich nicht... :/
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Guten Tag !
> Ich soll folgende Folgen auf Konvergenz, bestimmte
> Divergenz, Beschränktheit und Monotonie untersuchen.
> Außerdem soll ich alle Werte bestimmen, die als Limes von
> Teilfolgen auftreten können.
>
> 1. [mm]\ a_j=\bruch{(-1)^j}{j}[/mm] für [mm]j=1,...,\infty[/mm]
> 2. [mm]\ b_j=\bruch{1}{j!}[/mm] für [mm]j=1,...,\infty[/mm]
> 3. [mm]\ c_j=j^{(-1)^j}[/mm] für [mm]j=1,...,\infty[/mm]
> 4. [mm]\ d_j=-\wurzel[3]{j}[/mm] für [mm]j=1,...,\infty[/mm]
(Bezeichnungen [mm] a_j, b_j, c_j, d_j [/mm] von mir (al-Chw.) eingefügt)
> Hallo!
>
> 1.
>
> Hier weiß ich, dass das eine alternierende geometrische ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
"geometrisch" ist diese Folge nicht !
> Folge ist, mit |q|<1,
die Folge kat keinen konstanten Quotienten
> also ist der Grenzwert ja 0, und das
> auch für die jeweiligen Teilfolgen mit positivem und
> negativem Vorzeichen. Wie zeige ich das?
Wenn die Beträge [mm] |a_j| [/mm] der Glieder gegen 0 streben,
dann streben auch die Glieder [mm] a_j [/mm] selbst gegen 0.
> Die Beschränktheit
> ist dann bei K=1 vorzufinden, ja? Nur wie untersuche ich
> das?
Mache deutlich, dass [mm] |a_j|\le [/mm] 1 für alle [mm] j\in\IN [/mm] !
> Und sie ist ja nicht monoton, das ist klar, nur wie
> zeige ich das?
das ist ja offensichtlich: dazu genügt zu zeigen, dass
[mm] a_1a_3 [/mm]
> 2.
>
> Diese Reihe
(das ist keine Reihe, sondern eine Folge)
> wird wohl auch gegen 0 gehen, nur was für
> Teilfolgen könnte ich da nehmen?
auch alle Teilfolgen dieser Folge sind Nullfolgen
> Die Folge hat bei 1 ne
> obere Schranke, und ist denke ich auch monoton fallend,
> soweit so gut. Nur wieder: Wie zeige ich das?
Zeige, dass [mm] b_j\in [/mm] (0;1] für alle j und [mm] b_{j+1}
>
> 3.
>
> Das ist eine Folge, die im Exponenten alterniert... Also
> ist sie schon mal nicht monoton.
Zeige dies trotzdem konkret wie bei der Folge aus (1.) !
> Die 2 Teilfolgen mit
> negativem und positivem Exponenten gehen gegen 0 bzw.
> unendlich... ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Folge selbst kann somit nicht divergieren.
Nein, im Gegenteil: genau deshalb divergiert sie "erst recht".
Sie ist aber nicht "bestimmt divergent".
> Beschränkt.... bei 0, nach unten. Denke ich mal.
Die Folge ist nicht "beschränkt", da sie nur eine
untere, aber keine obere Schranke besitzt.
(Analogie: Fehlt bei einer Weide der Zaun auf einer
Seite, können sich die Tiere davon machen ...)
> Nur wie
> zeigen mal wieder?
Zeige, dass alle Glieder positiv sind, und, für das
Fehlen einer oberen Schranke, dass es zu jeder
(noch so grossen) Zahl [mm] K\in \IN [/mm] ein [mm] j\in \IN [/mm] gibt mit
[mm] c_j>K [/mm]
>
> 4.
>
> Hier ist die Frage was denn nun stärker wirkt, das j
> alleine oder die 3. Wurzel... davon hängt es ja ab, ob und
> wie die Folge konvergiert oder bestimmt divergiert.
Betrachte z.B. einmal jene Teilfolge mit [mm] j=10^{3k}
[/mm]
mit [mm] k\in\{0,1,2,3,4, ...\} [/mm] !
> Beschränkt... keine Ahnung, Monotonie auch nicht, obwohl
> ich schätze daqss sie monoton fällt, weil die Wurzel sich
> durchsetzt.... aber... zeigen? OO
Viel Erfolg !
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