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Hallo!
Hab ein Problem mit einer Analysis-Aufgabe. Hoffe, ihr könnt mir da ein wenig helfen.
1. Prüfen Sie, ob die folgenden Folgen konvergieren oder divergieren, und
bestimmen Sie ggfs. den Grenzwert.
(a) an = (−1)n + bn, wobei bn eine Folge ist, die gegen eine Zahl b Element R konvergiert.
(b) Sei (an)nElement N Teilmenge von C eine Folge komplexer Zahlen. Zeigen Sie: Die Folge konvergiert genau dann gegen eine komplexe Zahl a Element C, wenn (Re(an))nElement N Teilmenge R gegen Re(a) Element R und (Im(an))nElement N Teilmenge R gegen Im(a) Element R konvergiert.
(c) an = (bn)², wobei bn eine Folge ist, die gegen eine Zahl b Element R
konvergiert.
(d) an = 2 hoch n/n!
Hab wirklich keine Ahnung und bin für jede Hilfe dankbar!
Ciao
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Di 09.11.2004 | | Autor: | taura |
Hi,
du studierst nicht zufällig in Köln? ;)
Gruß Biggi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:08 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Mausi2911 |
Hi!
Doch, ich studieren in Köln Mathe und Latein auf Lehramt. Was studierst du denn?Wenn ich mich richtig erinnere, hast du doch auch eine Frage zu dem aktuellen Übungsblatt gestellt,oder? Bin also zum Glück nicht die einzige, die damit nicht ganz so klar kommt.
Scheinen außerdem mehrere Leute aus unserer Uni in diesem Matheforum vertreten zu sein.
Gruß Sonja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:46 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Gorky |
Nur ein Paar Ideen, aber ich weiss nicht ob die richtig sind ;) : Ich glaube c) kann man folgendermassen lösen [mm] a_{n}= (b_{n})^{2} [/mm] , können wir so beschreiben [mm] a_{n}= b_{n}*b_{n} [/mm] daraus folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] (b_{n}*b_{n}) [/mm] und nach Rechenregeln [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = [mm] (a_{n}*b_{n})= [/mm] a*b dann machen wir [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] = b*b .
Bei a.) Denke ich kann man dass in zwei TeilFolgen teilen und dann betrachten [mm] (-1)^{2k} [/mm] und [mm] (-1)^{2k+1} [/mm] (gerade und ungerade). Und mit hilfe HP (Häufungspunkten) beweisen dass diese Folge dividiert.
d) hab ich irgendwo in diesem forum gesehen. muss man mit vollständige Indukation beweisen, dass [mm] n*2^{n} [/mm] < n! für n >=5 gilt, und dann [mm] \bruch{ 2^{n}}{n!} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] ( da 1/n konvergiert, muss gelten dass auch [mm] \bruch{ 2^{n}}{n!} [/mm] konvergiert)
Wenn die Gedanken Falsch sind dann wäre es schön wenn jemand die korregiern könnte. Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Gorky |
a) Die Folge An hat zwei Teilfolge
für n=2k - gerade : Ank= [mm] (-1)^{2k}+Bn
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{2k}=1 [/mm] (konvergiert gegen 1) und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Bn=b (konvergiert gegen b)
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Ank = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((-1)^{2k}+ [/mm] Bn)= 1+B
für n=2k+1 ungerade : Ank= [mm] (-1)^{2k+1}+Bn
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{2k+1}=-1 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Bn=b
=> [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Ank = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ((-1)^{2k+1}+ [/mm] Bn)= (-1)+B
1+b und -1+b sind Häufungpunkte von An. Wenn eine Folge mehr als ein Hp hat dann ist die divident. ( Es gibt eine Lemma, dass eine Folge konvergent ist wenn die nur ein Hp hat hier sind zwei, also divierdiert die).
c) An = [mm] Bn^{2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} An=\limes_{n\rightarrow\infty} Bn^{2}= [/mm] (Nach Recnungsregeln) b*b= [mm] B^{2} [/mm] (konvergiert also zu [mm] B^{2})
[/mm]
d) Es sei [mm] n*2^{n} [/mm] < n! für n > 5
Indukationsart: Dann Sei n=6 (Hier soll man ein bisschen recnen aber am ende kommt raus 384 < 720 => [mm] 6*2^{6} [/mm] < 6! ist alo wahr.)
Dann mit hilfe vollständige Indukation beweisen, dass Aussage [mm] A_{n+1} [/mm] auch wahr ist. d.h. es gilt für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Also für alle n [mm] \in \IN [/mm] n > 5
[mm] n*2^{n} [/mm] < n! ( dividieren n > 0)
<=> [mm] 2^{n} [/mm] < [mm] \bruch{n!}{n} [/mm] (dividieren n!>0)
<=> [mm] \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] ;) cool!
Wir wissen dass folge [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konvergiert gegen 0 (oder man kann es beweisen, wenn nötig) Dann
[mm] \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] < [mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] = 0
[mm] \bruch{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
[mm] \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] (Transitivität)
also [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] = 0
(konvergiert gegen 0)
Ich denke so kann man diese Aufgeben lösen ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:02 Do 11.11.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo zusammen!
Dann fehlt ja nur noch die b).
Die folgt aber direkt aus:
[mm] $\max\{|Re(a_n)-Re(a)|, |Im(a_n)-Im(a)|\} \le |a_n-a| [/mm] = [mm] \sqrt{(Re(a_n)-Re(a))^2 + (Im(a_n) - Im(a))^2}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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