Konvergenz/Divergenz? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:35 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Hallo, ich befinde mich innerhalb einer Aufgabe und will nun den Grenzwert von [mm] a_{n}:=\bruch{n^{66}}{n!} [/mm] berechnen. Ich vermute, er konvergiert gegen Null. Wie kann ich das zeigen?
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Hallo,
schau mal hier
Gruss
kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Auf diesen Thread bin ich beim googlen auch schon gestoßen. Da wird aber nicht auf den Bruch eingegangen der mich interessiert...
Stimmt meine Vermutung überhaupt und wie kann ich das zeigen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Kann mir niemand eine Antwort geben? :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:52 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Hattet ihr schon Reihen? Wenn ja, dann könntest du zeigen, dass [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiert (Quotientenkriterium) und daraus folgt dann, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Wir hatten bisher weder reihen nocht das Quotientenkriterium. Gibt es noch eine andere Möglichkeit? Stimmt meine Vermutung überhaupt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
schau dir eben auch hier [mm] a_{n+1}/a_n [/mm] an. dann gehst du wie im anderen Bsp. vor.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Wenn ich [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] bilde erhalte ich [mm] \bruch{(n+1)^{65}}{n^{66}}. [/mm] Wie kann ich hier schließen, dass das gegen 0 konvergiert?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Es wäre echt super, wenn mir jemand nur bei dieser Aufgabe mal zeigen könnte, wie er die divergenz/konvergenz zeigt. Im anderen Thread wird das nicht gemacht ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:29 Do 02.06.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also du weißt dann, dass [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] eine Nullfolge ist.
Dann existiert ein N, sodass [mm] \frac{a_{n+1}}{a_n}\le\frac{1}{2}, $\forall n\ge [/mm] N$.
Das heißt also
[mm] $\frac{a_{N+1}}{a_N}\le\frac{1}{2} \gdw a_{N+1}\le \frac{1}{2}a_N$
[/mm]
[mm] $\frac{a_{N+2}}{a_{N+1}}\le\frac{1}{2}\gdw a_{N+2}\le \frac{1}{2}a_{N+1} \gdw a_{N+2}\le \frac{1}{2^2}a_{N}$ [/mm] etc.
Also siehst du:
[mm] a_{N+k}\le \frac{1}{2^k}a_{N}, $\forall [/mm] k [mm] \in \IN$.
[/mm]
Nun lass k gegen unendlich laufen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
der Leitterm vom Zähler (wenn du ausklammerst bzw. würdest) ist n^65, alle anderen Potenzen sind niedriger. wenn du also den quotienten mit n^65 kürzt, bekommst du im Zähler eine obere Schranke C und im Nenner n - also
[mm] a_(n+1)/a_n [/mm] < C/n
und das ist eine Nullfolge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Sorry wenn ich so oft nachfrage aber wie willst du im Zähler von [mm] \bruch{(n+1)^{65}}{n^{66}} [/mm] die [mm] n^{65} [/mm] ausklammern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
das Stichwort ist Multinominalkoeffizient [mm] (a+b)^n, [/mm] im fall von n=2 ist das
[mm] a^2 [/mm] + 2ab + [mm] b^2
[/mm]
allgemein gilt
[mm] a^n [/mm] + n*a^(n-1)*b + [mm] \vektor{n \\ 2}*a^{n-2}*b^2 [/mm] + ... [mm] +b^n
[/mm]
schau mal, ob du das irgendwo findest...
d.h. für unseren fall n=65, a=n, b=1
n^65 + 65n^64 + [mm] \vektor{65 \\ 2}n^63 [/mm] + ... + 65n + 1
jetzt musst du, wenn du den ausdruck durch n^65 teilen willst, ALLE summanden teilen, dann bekommst du
1 + 65/n + ... +65/n^64 + 1/n^64
alle summanden sind <= 1, insgesamt 66 summanden, damit kannst du den term durch C=66 nach oben beschränken.
ps: die genaue Formel lautet
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{n \\ i} a^i*b^{n-i}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Do 02.06.2011 | | Autor: | sangham |
sorry, Binominalkoeffizient, nicht Multi... (der ist noch etwas komplizierter)
die Formel ist unter dem Namen "binomischer Lehrsatz" bekannt.
Man kriegt sie raus, indem man (a+b) halt sooft mit sich selbst multipliziert, wie der Exponent angibt - d.h. (a+b)*(a+b)*.....*(a+b) ausklammert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Vielen Dank :) ich kannte diesen Koeffizienten nicht. Das hat mir wirklich sehr geholfen auch für viele andere Aufgaben.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Sorry wenn ich so oft nachfrage aber wie willst du im
> Zähler von [mm]\bruch{(n+1)^{65}}{n^{66}}[/mm] die [mm]n^{65}[/mm]
> ausklammern?
[mm] $\bruch{(n+1)^{65}}{n^{66}}=\bruch{(1+1/n)^{65}}{n}$ [/mm]
und jetzt den Z abschätzen für n>2 oder n>100 Z<C
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Ihr habt mir wirklich geholfen. Danke! Ich habe nur noch eine allgemeine Frage: Kann man schließen, dass wenn [mm] a_{n} [/mm] div. und [mm] b_{n} [/mm] div, dass dann auch [mm] a_{n}*b_{n} [/mm] div. (n [mm] \to \infty)?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, denn dann ist ja einfach zu zeigen, dass [mm] a_n*b_n [/mm] größer als jedes endliche N ist. nicht klar ist wenn [mm] a_n [/mm] konvergiert (etwa gegen 0 und [mm] b_n [/mm] divergiert gegen [mm] \infty. [/mm] wenn [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] dievergieren, aber nicht gegen [mm] \infty [/mm] (beispiel [mm] a_n=(-1)^n, b_n=(-1)^n [/mm] ) dann weiss man nichts.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Do 02.06.2011 | | Autor: | Sin777 |
Genau darum geht es mir! Wenn [mm] a_{n} [/mm] bestimmt und [mm] b_{n} [/mm] unbestimmt divergent ist [mm] \Rightarrow a_{n}b_{n} [/mm] besitzt keinen grenzwert.
die gleiche inklusion gilt also nicht unbedingt, wenn [mm] a_{n} [/mm] und [mm] b_{n} [/mm] unbestimmt div. sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:46 Do 02.06.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich hab dir doch ein Bsp geschrieben, warum fragst du dann noch?
Gruss leduart
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