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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz/ Divergenz Reihe
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Konvergenz/ Divergenz Reihe: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:26 Di 28.01.2014
Autor: iehtz

Aufgabe
Konvergiert oder divergiert die Reihe?

a) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{(n+1)!}{n^n} [/mm]
b) [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1} [/mm]

Hallo, ich wiederhole zur Zeit Aufgaben der Analysis im Hinblick Klausur und komme bei diesen Aufgaben nicht weiter.

Zu a) Quotientenkriterium liefert:

[mm] $\limes_{n \to \infty} |\bruch{\bruch{((n+1)+1)!}{(n+1)^n+1}}{\bruch{(n+1)!}{n^n}}|=\limes_{n \to \infty} |\bruch{((n+2)!*n^n}{(n+1)^n+1*(n+1)!}|=\limes_{n \to \infty} \bruch{((n+2)*(n+1)!*n^n}{(n+1)^n*(n+1)*(n+1)!}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)} [/mm]

An dem Punkt weiß ich nicht mehr richtig weiter... Ich könnte jetzt noch folgendes machen:

[mm] \limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{n}{(n+1)})^n=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n [/mm]

Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lassen, kann ich dann den rechten und linken Teil getrennt betrachten? Dann würde der rechte ja zu $e$ werden... Aber ich bezweifle, dass das geht. Jedenfalls weiß ich dann nicht mehr weiter.

Bei b) finde ich nicht das richtige Kriterium.


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: zu Aufgabe (a)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:37 Di 28.01.2014
Autor: Loddar

Hallo iehtz!


> Zu a) Quotientenkriterium liefert:
>
> [mm]\limes_{n \to \infty} |\bruch{\bruch{((n+1)+1)!}{(n+1)^n+1}}{\bruch{(n+1)!}{n^n}}|=\limes_{n \to \infty} |\bruch{((n+2)!*n^n}{(n+1)^n+1*(n+1)!}|=\limes_{n \to \infty} \bruch{((n+2)*(n+1)!*n^n}{(n+1)^n*(n+1)*(n+1)!}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}[/mm]

[ok] Fasse längere Exponenten mit geschweiften Klammern ein. Dann klapt es auch mit der korrekten Darstellung.



> Ich könnte jetzt noch folgendes machen:
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{n}{(n+1)})^n=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n[/mm]


[ok]


> Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lassen, kann ich
> dann den rechten und linken Teil getrennt betrachten?

[ok] Ja, gemäß den Grenzwertsätzen.


> Dann würde der rechte ja zu [mm]e[/mm] werden...

[notok] Nicht ganz. Schau noch mal genauer hin.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:03 Di 28.01.2014
Autor: iehtz


> Hallo iehtz!
>  
>
> > Zu a) Quotientenkriterium liefert:
>  >

> > [mm]\limes_{n \to \infty} |\bruch{\bruch{((n+1)+1)!}{(n+1)^n+1}}{\bruch{(n+1)!}{n^n}}|=\limes_{n \to \infty} |\bruch{((n+2)!*n^n}{(n+1)^n+1*(n+1)!}|=\limes_{n \to \infty} \bruch{((n+2)*(n+1)!*n^n}{(n+1)^n*(n+1)*(n+1)!}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}[/mm]
>  
> [ok] Fasse längere Exponenten mit geschweiften Klammern
> ein. Dann klapt es auch mit der korrekten Darstellung.
>  
>
>
> > Ich könnte jetzt noch folgendes machen:
>  > [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{n}{(n+1)})^n=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n[/mm]

>  
>
> [ok]
>  
>
> > Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lassen, kann ich
>  > dann den rechten und linken Teil getrennt betrachten?

>  
> [ok] Ja, gemäß den Grenzwertsätzen.

Ok. :)

> > Dann würde der rechte ja zu [mm]e[/mm] werden...
>  
> [notok] Nicht ganz. Schau noch mal genauer hin.
>  
>
> Gruß
>  Loddar

Ah, stimmt! Da habe ich wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht gesehen. Es gilt weiterhin:

[mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n=\limes_{n \to \infty} \bruch{(1+\bruch{2}{n})}{(1+\bruch{1}{n})}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n[/mm]

Wenn wir jetzt n gegen [mm] \infty [/mm] laufen lassen, erhalten wir:

[mm] $\bruch{1+0}{1+0}*\bruch{1}{e}=\bruch{1}{e} [/mm] < 1$

Somit ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut konvergent.

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Di 28.01.2014
Autor: DieAcht


> > Hallo iehtz!
>  >  
> >
> > > Zu a) Quotientenkriterium liefert:
>  >  >

> > > [mm]\limes_{n \to \infty} |\bruch{\bruch{((n+1)+1)!}{(n+1)^n+1}}{\bruch{(n+1)!}{n^n}}|=\limes_{n \to \infty} |\bruch{((n+2)!*n^n}{(n+1)^n+1*(n+1)!}|=\limes_{n \to \infty} \bruch{((n+2)*(n+1)!*n^n}{(n+1)^n*(n+1)*(n+1)!}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}[/mm]
>  
> >  

> > [ok] Fasse längere Exponenten mit geschweiften Klammern
> > ein. Dann klapt es auch mit der korrekten Darstellung.
>  >  
> >
> >
> > > Ich könnte jetzt noch folgendes machen:
>  >  > [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)*n^n}{(n+1)^n*(n+1)}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*\bruch{n^n}{(n+1)^n}=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{n}{(n+1)})^n=\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n[/mm]

>  
> >  

> >
> > [ok]
>  >  
> >
> > > Wenn ich jetzt n gegen unendlich laufen lassen, kann ich
>  >  > dann den rechten und linken Teil getrennt

> betrachten?
>  >  
> > [ok] Ja, gemäß den Grenzwertsätzen.
>  
> Ok. :)
>  
> > > Dann würde der rechte ja zu [mm]e[/mm] werden...
>  >  
> > [notok] Nicht ganz. Schau noch mal genauer hin.
>  >  
> >
> > Gruß
>  >  Loddar
>
> Ah, stimmt! Da habe ich wohl den Wald vor lauter Bäumen
> nicht gesehen. Es gilt weiterhin:
>  
> [mm]\limes_{n \to \infty} \bruch{(n+2)}{(n+1)}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n=\limes_{n \to \infty} \bruch{(1+\bruch{2}{n})}{(1+\bruch{1}{n})}*(\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})})^n[/mm]
>  
> Wenn wir jetzt n gegen [mm]\infty[/mm] laufen lassen, erhalten wir:
>  
> [mm]\bruch{1+0}{1+0}*\bruch{1}{e}=\bruch{1}{e} < 1[/mm]
>  
> Somit ist die Reihe nach dem Quotientenkriterium absolut
> konvergent.

[ok]

DieAcht

Bezug
        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: zu Aufgabe (b)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 Di 28.01.2014
Autor: Loddar

Hallo iehtz!


> b)  [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>
> Bei b) finde ich nicht das richtige Kriterium.

Versuche eine Abschätzung gegenüber der harmonischen Reihe zu finden.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Di 28.01.2014
Autor: iehtz


> Hallo iehtz!
>  
>
> > b)  [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>  >

> > Bei b) finde ich nicht das richtige Kriterium.
>  
> Versuche eine Abschätzung gegenüber der harmonischen
> Reihe zu finden.
>  
>
> Gruß
>  Loddar

Hallo Loddar,
ich habe jetzt folgendes:

[mm] $\bruch{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4-1}{n^5}=\bruch{n^4}{n^5}-\bruch{1}{n^5}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^5}$ [/mm]

Dann gilt:

[mm] $\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n}$ [/mm] ist divergent nach der allg. harmonischen Reihe und

[mm] $\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n^5}$ [/mm] ist konvergent nach der allg. harmonischen Reihe.

Das verwirrt mich. [verwirrt]

Bezug
                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:26 Di 28.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo iehts!


>  ich habe jetzt folgendes:
>  
> [mm]\bruch{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4-1}{n^5}=\bruch{n^4}{n^5}-\bruch{1}{n^5}=\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n^5}[/mm]
>  
> Dann gilt:
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n}[/mm] ist divergent nach der
> allg. harmonischen Reihe und
>  
> [mm]\lim_{n \to \infty} \bruch{1}{n^5}[/mm] ist konvergent nach der
> allg. harmonischen Reihe.
>  
> Das verwirrt mich. [verwirrt]

Netter Versuch, aber das bringt nichts und der Limes gehört dort auch nicht hin!

Es ist ganz einfach!

Du hast folgenden Bruch:

      [mm] \frac{n^4-1}{n^5+1} [/mm]

Du willst nach oben abschätzen.
Einen Bruch vergrößerst du, indem du z.B. folgendes tust:

1. Den Nenner verkleinern.
2. Den Zähler vergrößern.

Jetzt solltest du es aber sehen. ;-)

edit: Die Reihe divergiert, deshalb muss man natürlich nach unten abschätzen!

Gruß
DieAcht

Bezug
                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:17 Di 28.01.2014
Autor: iehtz

Hallo Acht,

> Du hast folgenden Bruch:
>  
> [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>  
> Du willst nach oben abschätzen.
>  Einen Bruch vergrößerst du, indem du z.B. folgendes
> tust:
>  
> 1. Den Nenner verkleinern.
>  2. Den Zähler vergrößern.
>  
> Jetzt solltest du es aber sehen. ;-)
>  
> Gruß
>  DieAcht

Ok, das war mir bewusst. Allerdings habe ich irgendwo im Hinterkopf, dass man beide Optionen nicht vermischen darf... [verwirrt] Sonst könnte ich ja jetzt einfach sagen:

[mm]\frac{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}[/mm]

Das ist eine divergente Majorante, somit wäre die Reihe divergent.

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:34 Di 28.01.2014
Autor: DieAcht


> Hallo Acht,
>  
> > Du hast folgenden Bruch:
>  >  
> > [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>  >  
> > Du willst nach oben abschätzen.
>  >  Einen Bruch vergrößerst du, indem du z.B. folgendes
> > tust:
>  >  
> > 1. Den Nenner verkleinern.
>  >  2. Den Zähler vergrößern.
>  >  
> > Jetzt solltest du es aber sehen. ;-)
>  >  
> > Gruß
>  >  DieAcht
>
> Ok, das war mir bewusst. Allerdings habe ich irgendwo im
> Hinterkopf, dass man beide Optionen nicht vermischen
> darf... [verwirrt] Sonst könnte ich ja jetzt einfach
> sagen:
> [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}[/mm]

> Das ist eine divergente Majorante, somit wäre die Reihe
> divergent.

Es gibt keine divergente Majorante!

Das Problem ist, dass ich einen Fehler gemacht habe.

Du musst nach unten abschätzen und nicht nach oben.

Tut mir leid!

Gruß
DieAcht

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Di 28.01.2014
Autor: iehtz


> > Hallo Acht,
>  >  
> > > Du hast folgenden Bruch:
>  >  >  
> > > [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>  >  >  
> > > Du willst nach oben abschätzen.
>  >  >  Einen Bruch vergrößerst du, indem du z.B.
> folgendes
> > > tust:
>  >  >  
> > > 1. Den Nenner verkleinern.
>  >  >  2. Den Zähler vergrößern.
>  >  >  
> > > Jetzt solltest du es aber sehen. ;-)
>  >  >  
> > > Gruß
>  >  >  DieAcht
> >
> > Ok, das war mir bewusst. Allerdings habe ich irgendwo im
> > Hinterkopf, dass man beide Optionen nicht vermischen
> > darf... [verwirrt] Sonst könnte ich ja jetzt einfach
> > sagen:
>  > [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}[/mm]

>  
>  
> > Das ist eine divergente Majorante, somit wäre die Reihe
> > divergent.
>
> Es gibt keine divergente Majorante!
>  
> Das Problem ist, dass ich einen Fehler gemacht habe.
>  
> Du musst nach unten abschätzen und nicht nach oben.
>  
> Tut mir leid!
>  
> Gruß
>  DieAcht


Es ist keine divergente Majorante? War meine Aussage also richtig, dass man die Abschätzungsoptionen des Zählers und Nenners nicht vermischen darf?
Ich habe die Reihe jetzt einmal bei Wolfram Alpha eingegeben, dort kommt auch heraus, dass die Reihe divergent ist.

Ich stehe jetzt aber absolut auf dem Schlauch. Was wäre denn hier eine sinnvolle Abschätzung nach oben?

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:08 Di 28.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo nochmal,


> Es ist keine divergente Majorante?

Es gibt nur: konvergente Majorante oder divergente Minorante.

> War meine Aussage also
> richtig, dass man die Abschätzungsoptionen des Zählers
> und Nenners nicht vermischen darf?

Nein, das hat damit eigentlich nicht viel zu tun.

>  Ich habe die Reihe jetzt einmal bei Wolfram Alpha
> eingegeben, dort kommt auch heraus, dass die Reihe
> divergent ist.

Um ehrlich zu sein hätte ich das auch nicht gedacht!

> Ich stehe jetzt aber absolut auf dem Schlauch. Was wäre
> denn hier eine sinnvolle Abschätzung nach oben?

Mir fällt gerade auch nichts ein..

Ich lasse die Frage mal auf unbeantwortet.

Gruß
DieAcht

Bezug
                                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:59 Mi 29.01.2014
Autor: fred97

Zur Reihe

    
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1} [/mm] $

Vorweg: ich bin ein großer Freund von "Abschätzen". Das muss geübt, geübt, geübt werden.

Dennoch möchte ich eine Weg aufzeigen, der einem das Leben einfacher machen kann:

Wir setzen [mm] a_n:=\bruch{n^4-1}{n^5+1}. [/mm] Für große n verhält sich [mm] a_n [/mm] wie [mm] \bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}=:b_n. [/mm]

Da [mm] \sum_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] divergiert, liegt die Vermutung nahe, dass [mm] \sum_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] ebenfalls divergiert.

Somit denken wir an das Minorantenkriterium und es ist ein c>0 gesucht mit:

      [mm] $a_n \ge c*b_n$ [/mm]   für fast alle n [mm] \in \IN. [/mm]

Die Frage ist nun, wie man solch ein geeignetes c findet. Mit geschicktem Abschätzen findet man solch ein c. Reverend wurde fündig.

Ohne Abschätzung kann man so fündig werden:

Wegen

   [mm] \bruch{a_n}{b_n}= \bruch{n^5-n}{n^5+1} \to [/mm] 1 ( n [mm] \to \infty) [/mm]

gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:  [mm] \bruch{a_n}{b_n} \ge \bruch{1}{2} [/mm] für alle n>N.

Damit haben wir:

      [mm] a_n \ge \bruch{1}{2}*b_n [/mm]  für alle n>N.

Hurra ! Ich musste mich weniger abstrampeln als reverend.

So, für Dich zum Einüben der obigen Methode:

1. Zeige: [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{n^{24}+n^6+8n^4+9n^2+1} [/mm] ist divergent

2. Zeige: [mm] \sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-17n^{12}-67n^5-5n^2+63n+12}{12n^{28}+n^{26}+n^4+9n^3+4711} [/mm] ist konvergent.

Bei beiden Reihen ist reines "Abschätzen" ein mühsames Geschäft !

Viel Spass

FRED

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Merkzettel
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:09 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo Fred,

Das kommt auch auf meinem Merkzettel :-)

Gruß
DieAcht

Bezug
                                                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:32 Mi 29.01.2014
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  

Hallo DuAcht,


> Das kommt auch auf meinem Merkzettel :-)

Freut mich. Was steht denn sonst noch so auf dem Merkzettel ?

Gruß FRED

>  
> Gruß
>  DieAcht


Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:15 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo Fred,


> Freut mich. Was steht denn sonst noch so auf dem Merkzettel?

Auf meinem "Zettel" (das sind schon 5 Seiten) von diesem Forum sind viele schöne Dinge drauf.

Beachtlich ist, dass davon 3 Seiten komplett von dir sind.
Es sind in der Regel Merksätze und dazu viele Beispiele.

Das hier ist ein kleiner Ausschnitt im "Bereich Fred" :-)

1. Manche Aufgaben lösen sich eleganter durch Anwendung vom MWS/ZWS - dazu 4 Beispiele.

2. Substitution von Termen vereinfacht den Überblick und hilft ungemein für eine schöne Lösung - dazu 5 Beispiele.

3. Vermeidung von L'Hospital bei der Berechnung von bestimmten Grenzwerten. - dazu 4 Beispiele.

4. Das Cauchyprodukt ist oft ein mächtiges Hilfsmittel. - 3 Beispiele.

5. Das hier :-)

Dazu kommt, dass ich gerne auf deinem Profil stalke und deine Beiträge lese.

Outing.

Gruß
DieAcht

Bezug
                                                                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:01 Mi 29.01.2014
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>  
>
> > Freut mich. Was steht denn sonst noch so auf dem
> Merkzettel?
>  
> Auf meinem "Zettel" (das sind schon 5 Seiten) von diesem
> Forum sind viele schöne Dinge drauf.
>  
> Beachtlich ist, dass davon 3 Seiten komplett von dir sind.
>  Es sind in der Regel Merksätze und dazu viele Beispiele.
>  
> Das hier ist ein kleiner Ausschnitt im "Bereich Fred" :-)
>  
> 1. Manche Aufgaben lösen sich eleganter durch Anwendung
> vom MWS/ZWS - dazu 4 Beispiele.
>  
> 2. Substitution von Termen vereinfacht den Überblick und
> hilft ungemein für eine schöne Lösung - dazu 5
> Beispiele.
>  
> 3. Vermeidung von L'Hospital bei der Berechnung von
> bestimmten Grenzwerten. - dazu 4 Beispiele.
>  
> 4. Das Cauchyprodukt ist oft ein mächtiges Hilfsmittel. -
> 3 Beispiele.
>  
> 5. Das hier :-)
>  
> Dazu kommt, dass ich gerne auf deinem Profil stalke und
> deine Beiträge lese.

In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich. Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.

Gruß FRED

>  
> Outing.
>  
> Gruß
>  DieAcht


Bezug
                                                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:02 Mi 29.01.2014
Autor: Richie1401


> > Hallo Fred,
>  >  
> >
> > > Freut mich. Was steht denn sonst noch so auf dem
> > Merkzettel?
>  >  
> > Auf meinem "Zettel" (das sind schon 5 Seiten) von diesem
> > Forum sind viele schöne Dinge drauf.
>  >  
> > Beachtlich ist, dass davon 3 Seiten komplett von dir sind.
>  >  Es sind in der Regel Merksätze und dazu viele
> Beispiele.
>  >  
> > Das hier ist ein kleiner Ausschnitt im "Bereich Fred" :-)
>  >  
> > 1. Manche Aufgaben lösen sich eleganter durch Anwendung
> > vom MWS/ZWS - dazu 4 Beispiele.
>  >  
> > 2. Substitution von Termen vereinfacht den Überblick und
> > hilft ungemein für eine schöne Lösung - dazu 5
> > Beispiele.
>  >  
> > 3. Vermeidung von L'Hospital bei der Berechnung von
> > bestimmten Grenzwerten. - dazu 4 Beispiele.
>  >  
> > 4. Das Cauchyprodukt ist oft ein mächtiges Hilfsmittel. -
> > 3 Beispiele.
>  >  
> > 5. Das hier :-)
>  >  
> > Dazu kommt, dass ich gerne auf deinem Profil stalke und
> > deine Beiträge lese.
>  
> In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.

Absolute Zustimmung meinerseits!




"Ausziehen! Ausziehen! Ausziehen..."    ;-)

>  
> Gruß FRED
>  >  
> > Outing.
>  >  
> > Gruß
>  >  DieAcht
>  


Bezug
                                                                                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:50 Fr 07.02.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> > > Hallo Fred,
>  >  >  
> > >
> > > > Freut mich. Was steht denn sonst noch so auf dem
> > > Merkzettel?
>  >  >  
> > > Auf meinem "Zettel" (das sind schon 5 Seiten) von diesem
> > > Forum sind viele schöne Dinge drauf.
>  >  >  
> > > Beachtlich ist, dass davon 3 Seiten komplett von dir sind.
>  >  >  Es sind in der Regel Merksätze und dazu viele
> > Beispiele.
>  >  >  
> > > Das hier ist ein kleiner Ausschnitt im "Bereich Fred" :-)
>  >  >  
> > > 1. Manche Aufgaben lösen sich eleganter durch Anwendung
> > > vom MWS/ZWS - dazu 4 Beispiele.
>  >  >  
> > > 2. Substitution von Termen vereinfacht den Überblick und
> > > hilft ungemein für eine schöne Lösung - dazu 5
> > > Beispiele.
>  >  >  
> > > 3. Vermeidung von L'Hospital bei der Berechnung von
> > > bestimmten Grenzwerten. - dazu 4 Beispiele.
>  >  >  
> > > 4. Das Cauchyprodukt ist oft ein mächtiges Hilfsmittel. -
> > > 3 Beispiele.
>  >  >  
> > > 5. Das hier :-)
>  >  >  
> > > Dazu kommt, dass ich gerne auf deinem Profil stalke und
> > > deine Beiträge lese.
>  >  
> > In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> > Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> > es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.
>  
> Absolute Zustimmung meinerseits!
>  
>
>
>
> "Ausziehen! Ausziehen! Ausziehen..."    ;-)

na, da hast Du aber was falsch verstanden... tststs

[grins] [prost]

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:06 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo ihr beiden,


> In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.

Danke dir für die netten Worte!

Ich habe mein Profil ein bisschen überarbeitet.

> Absolute Zustimmung meinerseits!

> "Ausziehen! Ausziehen! Ausziehen..."    ;-)

Ich studiere übrigens WiMa an der TU-Berlin,
deshalb habe ich dich, weil du einem das Ferus Skript empfohlen hast,
gefragt ob du an der TU-Berlin studierst. :-)


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:50 Mi 29.01.2014
Autor: reverend

Hallo DieAcht,

> > In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> > Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> > es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.
>  
> Danke dir für die netten Worte!
>  
> Ich habe mein Profil ein bisschen überarbeitet.

Na, aber nicht so unglaublich grundlegend... ;-)

> Ich studiere übrigens WiMa an der TU-Berlin,

Ach ja. Eine typische interne Abkürzung. WiMa=
- windige Machenschaften (mein Favorit)
- wichtige Manöver
- winzige Makaken
- wirsche Maßregelungen
- Widukinds Marienverehrung
- wilhelminische Mannschaftsaushebung
- WindelMaße
- witzige Marschbefehle
- wie's magst

Hm. Ich komm nicht drauf... :-)

Grüße
reverend

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:07 Mi 29.01.2014
Autor: fred97


> Hallo DieAcht,
>  
> > > In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> > > Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> > > es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.
>  >  
> > Danke dir für die netten Worte!
>  >  
> > Ich habe mein Profil ein bisschen überarbeitet.
>  
> Na, aber nicht so unglaublich grundlegend... ;-)
>  
> > Ich studiere übrigens WiMa an der TU-Berlin,
>
> Ach ja. Eine typische interne Abkürzung. WiMa=
>  - windige Machenschaften (mein Favorit)
>  - wichtige Manöver
>  - winzige Makaken
>  - wirsche Maßregelungen
>  - Widukinds Marienverehrung
>  - wilhelminische Mannschaftsaushebung
>  - WindelMaße
>  - witzige Marschbefehle
>  - wie's magst
>  
> Hm. Ich komm nicht drauf... :-)

Hallo rev,

dieAcht hat sich verschrieben und meint WiLmA:

[]die dritte von links, ganz links, das bin ich FRED







>  
> Grüße
>  reverend


Bezug
                                                                                                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:52 Fr 07.02.2014
Autor: Marcel

Hey,

> > Hallo DieAcht,
>  >  
> > > > In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> > > > Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> > > > es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.
>  >  >  
> > > Danke dir für die netten Worte!
>  >  >  
> > > Ich habe mein Profil ein bisschen überarbeitet.
>  >  
> > Na, aber nicht so unglaublich grundlegend... ;-)
>  >  
> > > Ich studiere übrigens WiMa an der TU-Berlin,
> >
> > Ach ja. Eine typische interne Abkürzung. WiMa=
>  >  - windige Machenschaften (mein Favorit)
>  >  - wichtige Manöver
>  >  - winzige Makaken
>  >  - wirsche Maßregelungen
>  >  - Widukinds Marienverehrung
>  >  - wilhelminische Mannschaftsaushebung
>  >  - WindelMaße
>  >  - witzige Marschbefehle
>  >  - wie's magst
>  >  
> > Hm. Ich komm nicht drauf... :-)
>  
> Hallo rev,
>  
> dieAcht hat sich verschrieben und meint WiLmA:

den

   WILden MArcel

kann man (noch) nicht studieren ^^ :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:48 Fr 07.02.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo DieAcht,
>  
> > > In Deinem Profil steht so gut wie nix über Dich.
> > > Angesichts Deiner, in der Regel, sehr guten Beiträge wäre
> > > es interessant, etwas mehr über Dich zu erfahren.
>  >  
> > Danke dir für die netten Worte!
>  >  
> > Ich habe mein Profil ein bisschen überarbeitet.
>  
> Na, aber nicht so unglaublich grundlegend... ;-)
>  
> > Ich studiere übrigens WiMa an der TU-Berlin,
>
> Ach ja. Eine typische interne Abkürzung. WiMa=
>  - windige Machenschaften (mein Favorit)
>  - wichtige Manöver
>  - winzige Makaken
>  - wirsche Maßregelungen
>  - Widukinds Marienverehrung
>  - wilhelminische Mannschaftsaushebung
>  - WindelMaße
>  - witzige Marschbefehle
>  - wie's magst

Wirre Maenschen... Ach man, diese neue Rechtschreibung ver-wirrt.

WiMa = Wilde Masterstudenten!

Jetzt MEIN Favorit:

   Wirrer Marcel

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:25 Fr 07.02.2014
Autor: Marcel

Hallo Fred,

> > Hallo Fred,
>  >  
>
> Hallo DuAcht,
>  
>
> > Das kommt auch auf meinem Merkzettel :-)

geben wir der Sache doch 'nen Namen:

etwa

   Heuser, Lehrbuch der Analysis, 14. Auflage, Satz 33.6

Grenzwertkriterium (für Reihen)

Ich liebe diese Methode des Abschätzens genauso wie Du, aber man kann
ja einfach direkt diesen Satz "anschmeißen" und das Ergebnis benutzen. Da
passiert ja genau das, was Du hier etwas spezieller machst.

Mich freut es aber, dass ich mal sehe, dass nicht alle Dozenten diese
Methode oder den Satz "unterschlagen". :-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:35 Fr 07.02.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Zur Reihe
>
>
> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>  
> Vorweg: ich bin ein großer Freund von "Abschätzen". Das
> muss geübt, geübt, geübt werden.
>  
> Dennoch möchte ich eine Weg aufzeigen, der einem das Leben
> einfacher machen kann:
>  
> Wir setzen [mm]a_n:=\bruch{n^4-1}{n^5+1}.[/mm] Für große n
> verhält sich [mm]a_n[/mm] wie [mm]\bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}=:b_n.[/mm]
>  
> Da [mm]\sum_{n=1}^{\infty}b_n[/mm] divergiert, liegt die Vermutung
> nahe, dass [mm]\sum_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] ebenfalls divergiert.
>  
> Somit denken wir an das Minorantenkriterium und es ist ein
> c>0 gesucht mit:
>  
> [mm]a_n \ge c*b_n[/mm]   für fast alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>  
> Die Frage ist nun, wie man solch ein geeignetes c findet.
> Mit geschicktem Abschätzen findet man solch ein c.
> Reverend wurde fündig.
>  
> Ohne Abschätzung kann man so fündig werden:
>  
> Wegen
>  
> [mm]\bruch{a_n}{b_n}= \bruch{n^5-n}{n^5+1} \to[/mm] 1 ( n [mm]\to \infty)[/mm]
>  
> gibt es ein N [mm]\in \IN[/mm] mit:  [mm]\bruch{a_n}{b_n} \ge \bruch{1}{2}[/mm]
> für alle n>N.
>  
> Damit haben wir:
>  
> [mm]a_n \ge \bruch{1}{2}*b_n[/mm]  für alle n>N.
>  
> Hurra ! Ich musste mich weniger abstrampeln als reverend.
>  
> So, für Dich zum Einüben der obigen Methode:
>  
> 1. Zeige: [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{n^{24}+n^6+8n^4+9n^2+1}[/mm]
> ist divergent
>  
> 2. Zeige: [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-17n^{12}-67n^5-5n^2+63n+12}{12n^{28}+n^{26}+n^4+9n^3+4711}[/mm]
> ist konvergent.

ich übe mal mit:

    [mm] $\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{\red{n^{23}}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{\red{n^{24}}+n^6+8n^4+9n^2+1}$ [/mm]

verhält sich wie

   [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{\red{n^{23}}}{\red{n^{24}}},$ [/mm]

dat letzte Ding da divergiergt.

Was mache ich? Etwa Satz 33.6 vom Heuser, Analysis I, 14. Auflage anwerfen
und

    [mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{\bruch{\red{n^{23}}+n^{19}-n^{7}+123n^3-50n^2+63n+2341}{\red{n^{24}}+n^6+8n^4+9n^2+1}}{\frac{\red{n^{23}}}{\red{n^{24}}}}=1 [/mm] > 0$

nachrechnen.

P.S. Spaßeshalber könnten wir auch mal

    [mm] $\sum_{n=\red{17}}^\infty [/mm] ...$

hinschreiben - nur, damit die Leute nicht immer denken, dass unter der Reihe
der Index doch wohl immer 0 oder 1 sein muss (beim Nachhilfegeben
fallen durchaus schonmal solche Fragen an).

P.S. Das schöne an dem Ergebnis ist doch eigentlich:
Die letzten Reihen sehen erstmal kompliziert aus, aber nur mit einem einfachen
Blick kann man wenigstens schonmal direkt die Frage nach Konvergenz
oder Divergenz beantworten.

Wer die Methode kennt, könnte also in einer mündlichen Prüfung diese
Fragen oben innerhalb von ca. 10 Sekunden beantworten.

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:41 Fr 07.02.2014
Autor: Marcel

P.S.

Zusatzübung:

3: Zeige

    [mm]\sum_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{23}+n^{19}-17n^{12}-67n^5-5n^2+63n+12}{\red{\,-\,}12.73n^{24+1/1000}\red{\,-\,}\pi n^{23}\red{\,-\,}15n^4\red{\,-\,}9n^3+4711}[/mm]

ist konvergent.

Hinweis: [mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^\alpha}$ [/mm] konvergiert (genau) dann, wenn...?

Hinweis zum Hinweis: Wer nichts findet, denke (bzgl. "Konvergenz") mit dem
Cauchyschen Verdichtungssatz nach!

Gruß,
  Marcel

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:41 Di 28.01.2014
Autor: reverend

Hallo iehtz,

das mit dem Vergleichskriterium musst Du Dir dringend noch einmal anschauen, so dass Du es auch logisch verstehst.

Es gibt immer divergente Majoranten. Sie sagen nichts aus. Das gleiche gilt für konvergente Minoranten. Die gibts auch immer, interessieren also überhaupt nicht.

> > Du hast folgenden Bruch:
>  >  
> > [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1}[/mm]
>  >  
> > Du willst nach oben abschätzen.

Nein, eben nicht, sondern nach unten. Er liegt für große n ja in der Größenordnung von [mm] \frac{1}{n}, [/mm] die Reihe ist also ziemlich sicher divergent. Das muss man jetzt eben nur zeigen. Wurzel- und Quotientenkriterium bringen hier nichts und in der Tat ist das Vergleichskriterium das Mittel der Wahl.

>  >  Einen Bruch vergrößerst du, indem du z.B. folgendes
> > tust:
>  >  
> > 1. Den Nenner verkleinern.
>  >  2. Den Zähler vergrößern.

Jetzt brauchen wir also die umgekehrte Vorgehensweise.

> > Jetzt solltest du es aber sehen. ;-)
>
> Ok, das war mir bewusst. Allerdings habe ich irgendwo im
> Hinterkopf, dass man beide Optionen nicht vermischen
> darf... [verwirrt] Sonst könnte ich ja jetzt einfach
> sagen:
>  
> [mm]\frac{n^4-1}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5+1} \le \bruch{n^4}{n^5}=\bruch{1}{n}[/mm]
>  
> Das ist eine divergente Majorante, somit wäre die Reihe
> divergent.

Die richtige Abschätzung könnte so aussehen:

[mm] \br{n^4-1}{n^5+1}>\br{n^4-1}{2n(n^4-1)}=\br{1}{2}*\br{1}{n} [/mm]

Sie ist zwar für n=1 nicht definiert, gilt aber sonst immer. Außerdem ist sie ziemlich grob, aber das ist ja egal.

Grüße
reverend

Bezug
                                                
Bezug
Konvergenz/ Divergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:25 Mi 29.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo reverend,

Ich schiebe mal meinen Aussetzer auf die Müdigkeit ;-)

> [mm]\br{n^4-1}{n^5+1}>\br{n^4-1}{2n(n^4-1)}=\br{1}{2}*\br{1}{n}[/mm]

Ich habe gestern noch bestimmt eine Stunde probiert eine
sehr "schöne kleine" Abschätzung zu finden und habe dabei
völlig aus den Augen verloren, dass ich das gar nicht brauche!

Heute ist mir klar, dass das nicht möglich war,
denn es existiert kein [mm] N\in\IN [/mm] mit

      [mm] a_n\ge\frac{1}{n} [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.

Hätte ich mal an den Grenzwertübergang nachgedacht..

Wie dem auch sei, danke dir für's Aufpassen!

Gruß
DieAcht

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