Konvergenz Folge mit Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wenn [mm] (a_{n})_{n\in \IN} \subset \IR_{+} [/mm] gegen a konvergiert, dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel{a_{n}} [/mm] = [mm] \wurzel{a} [/mm] |
Hallo zusammen
obige Frage ist mir kürzlich über den Weg gelaufen.
Intuitiv scheint sie klar zu sein, beweisen kann ich sie kläglicherweise allerdings nicht...
Meine erste Herangehensweise, mit den Definitionen zu spielen und durch Umformung der Betragsterme auf das Ergebnis zu kommen, hat leider nicht geklappt.
Dann habe ich versucht, meine Intuition zu 'formalisieren'. (i) Die Wurzelfunktion ist streng monoton steigend und für die Folge hier anwendbar, da [mm] \subset \IR_{+}. [/mm] (ii) Wenn die Abstände von [mm] a_{n} [/mm] zu a immer kleiner werden, dann auch die Wurzel der Folgeglieder zu der Wurzel des Grenzwerts. Also muss sich die Funktion [mm] \wurzel{a} [/mm] beliebig nah annähern.
Ich wäre euch sehr verbunden, wenn ich einen Tipp (!) bekommen könnte.
Sollte ich mit (1) oder (2) weiter herumprobieren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:17 Sa 12.11.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
einfach [mm] \wurzel{a_n}-\wurzel{a} [/mm] abschätzen,durch [mm] a_n-a [/mm] ; erweitern mit [mm] \wurzel{a_n}+\wurzel{a} [/mm] hilft dabei
Gruss leduart
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