Konvergenz, Grenzwert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen sie auf Konvergenz und bestimmen sie gegebenenfalls den Grenzwert für n [mm] \to \infty.
[/mm]
a)
[mm] \bruch{n^3-2}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{n^4+3n^2}{n^2+n-1}
[/mm]
b)
[mm] \bruch{n^3-2}{n+1} [/mm] - [mm] \bruch{n^4+3n^2}{n^2+n-3}
[/mm]
c)
[mm] \bruch{(n+1)!}{n^{(n+1)}}
[/mm]
d)
[mm] \summe_{i=0}^{n} (\bruch{3}{4})^i [/mm] |
Hallo ihr Lieben!!!
Ich habt mir immer so toll geholfen, nun bräuchte ich mal wieder eure Unterstützung beim Lösen der Aufgaben. a) und b) habe ich schon mal gerechent und folgendes herraus bekommen:
a)
[mm] \bruch{2n^3-5n^2-2n+2}{n^3-2n+1} \to [/mm] 2 ; konvergiert mit Grenzwert 2
b)
[mm] \bruch{2n^4+n^2-2n+6}{n^3+2n^2-2n-3} \to [/mm] 2 ;konvergiert auch gegen 2
ist das so richtig? bei b) bin ich mir da nich sicher.
und nun weiss ich nicht wie ich c) und d) berechnen kann.
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe :)
Grüsse von Sarah
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:42 Mo 16.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sarah!
Schreibe den Ausdruck bei Aufgabe c.) mal vollständig aus und wende die Grenzwertsätze an:
[mm] $\bruch{(n+1)!}{n^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\overbrace{1*2*3*...*n*(n+1)}^{\text{= (n+1) Faktoren}}}{\underbrace{n*n*n*...*n*n}_{\text{= (n+1) Faktoren}}} [/mm] \ = \ [mm] \underbrace{\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n}{n}*\bruch{n+1}{n}}_{\text{= (n+1) Faktoren}} [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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Hallo Lodder, vielen Dank für den Denkanstoss.
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> [mm]\bruch{(n+1)!}{n^{n+1}} \ = \ \bruch{\overbrace{1*2*3*...*n*(n+1)}^{\text{= (n+1) Faktoren}}}{\underbrace{n*n*n*...*n*n}_{\text{= (n+1) Faktoren}}} \ = \ \underbrace{\bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*...*\bruch{n}{n}*\bruch{n+1}{n}}_{\text{= (n+1) Faktoren}} \ = \ ...[/mm]
>
Wenn ich mir das so anschaue dann sieht das wie die Summe von Nullfolgen aus.
Wie sieht das aus wenn ich hier den Einschließungssatz verwende?
Ich nehme a=0 durch Abschätzen von 0 als unterer Schranke.
und habe dann
0 [mm] \le \bruch{(n+1)!}{n^{(n+1)}} \le c_n \to [/mm] 0
dann kann ich ja noch die Zerlegung aufschreiben...
reicht das als Antwort? oder muss ich noch ein [mm] c_n [/mm] finden das gegen 0 konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Di 17.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. nur die ersten sind Nullfolgen!
2. Keine Summe, sondern ein Produkt von Nullfolgen, und Folgen, die gegen 1 konv.
3. natuerlich muss man zeigen, dass cxn gegen 0 geht, dazu ist ja die Zerlegung!
Gruss leduart
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ich glaube ich liege falsch, aber ich versuche es mal
für 0 [mm] \le \bruch{(n-1)}{n} \le [/mm] 0 [mm] \to [/mm] 0
und für 0 [mm] \le \bruch{n}{n} \* \bruch{(n+1)}{n} \le [/mm] 1 [mm] \to [/mm] 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:30 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich glaube ich liege falsch, aber ich versuche es mal
>
> für 0 [mm]\le \bruch{(n-1)}{n} \le[/mm] 0 [mm]\to[/mm] 0
warum soll 1-1/n<0 und das konv. nicht gegen 0!
aber 1/n und 2,n und 3/n usw gehen gegen 0 und wenn von dem Produkt nur ein einziges 0 wuerde, alle anderen 1 oder irgend ne feste Zahl, dann ergibt das Produkt?
Gruss leduart
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ok danke :) nun verstehe ich das Ganze. Aber wie kann ich das so ausdrücken?
0 [mm] \le \bruch{(n+1)!}{n^{n+1}} \le c_n \to [/mm] 0
was ist dann mein [mm] c_n
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo maus
> ok danke :) nun verstehe ich das Ganze. Aber wie kann ich
> das so ausdrücken?
>
> 0 [mm]\le \bruch{(n+1)!}{n^{n+1}} \le c_n \to[/mm] 0
warum willst du das so ausdruecken? [mm] c_n=\bruch{n!}{n^{n}}und [/mm] das ist gleich dem Produkt, und das geht gegen 0, weil die hinteren Faktoren gegen 1, die vorderen gegen 0 gehen.
> was ist dann mein [mm]c_n[/mm]
siehe oben. dass [mm] c_{n+1}
Gruss leduart
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also stimmt dies?
0 [mm] \le \bruch{(n+1)!}{n^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\cdot{}\bruch{2}{n}\cdot{}\bruch{3}{n}\cdot{}...\cdot{}\bruch{n}{n}\cdot{}\bruch{n+1}{n} \le \bruch{n!}{n^n} \to [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo maus
stimmt, aber du musst das < noch zeigen!
also [mm] c_{n+1}/c_n<1
[/mm]
Gruss leduart
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wie denn zeigen? einfach nur aufschreiben? so...
[mm] c_n [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^n} [/mm] und [mm] c_{n+1} \le c_n \le [/mm] 1
denn [mm] c_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{n+1!}{c^n} \le c_n \le [/mm] 1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Mi 18.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> wie denn zeigen? einfach nur aufschreiben? so...
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> [mm]c_n[/mm] = [mm]\bruch{n!}{n^n}[/mm] und [mm]c_{n+1} \le c_n \le[/mm] 1
>
> denn [mm]c_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{n+1!}{c^n} \le c_n \le[/mm] 1
das ist sicher als Zischeschritt falsch! wie kommst du auf
[mm]c_{n+1}[/mm] = [mm][mm] \bruch{n+1!}{c^n}[/mm] [mm]
wenn [mm] c_n<1 [/mm] dann waere doch [mm] \bruch{n+1!}{c^n}>(n+1)!
[/mm]
du musst wirklich [mm] c_n [/mm] und [mm] c_{n+1} [/mm] aufschreiben, sie dann durcheinander dividieren, und zeigen, dass das kleiner 1 ist!
und dann musst du auch noch aufschreiben, warum [mm] c_n [/mm] gegen 0 konvergiert!
wenn du das hast brauchst du diese Ungleichung gar nicht.
Wenn du nur Konvergenz einer Folge zeigen willst, zeigst du, dass sie 1.nach unten beschränkt ist und 2. monoton fallend . dann hast du schon, dass sie konvergiert.
also hier [mm] c_n>0 [/mm] und [mm] c_{n+1}
Gruss leduart
Gruss leduart
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Hallo,
bei der (d) denke an die endliche geometrische Summe: [mm] $\summe_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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> Hallo,
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> bei der (d) denke an die endliche geometrische Summe:
> [mm]\summe_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}[/mm]
>
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Also nach der geometrischen Summenformel ist dies
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} q^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] also
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{3}{4})^{i} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{3}{4}} [/mm] = 4
also konvergiert diese geometrische Reihe gegen 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:19 Di 17.04.2007 | | Autor: | leduart |
Ja!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) ist richtig, b )ist falsch es divergiert wie [mm] n^4/n^3=n
[/mm]
Gruss leduart
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> Hallo
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> a) ist richtig, b )ist falsch es divergiert wie [mm]n^4/n^3=n[/mm]
> Gruss leduart
danke, aber was meinst du mit "wie [mm]n^4/n^3=n[/mm]"?
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Hallo,
nun die höchsten Potenzen im Nenner und Zähler sind [mm] n^4 [/mm] und [mm] n^3
[/mm]
Die Divergenz kannst du am besten sehen, wenn du hier
[mm] \bruch{2n^4+n^2-2n+6}{n^3+2n^2-2n-3} [/mm] mal im Zähler und Nenner [mm] n^3 [/mm] ausklammerst:
[mm] =\bruch{n^3(2n+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{6}{n^3})}{n^3(1+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}-\frac{3}{n^3})}
[/mm]
[mm] =\bruch{2n+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{6}{n^3}}{1+\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}-\frac{3}{n^3}}
[/mm]
und hier siehst du, dass zwar der Nenner gegen 1 konvergier für [mm] n\rightarrow\infty [/mm] , aber das 2n im Zähler gegen [mm] \infty [/mm] divergiert.
Das ist somit quasi ne Folge vom Format [mm] (n)_n [/mm] oder sogar [mm] (2n)_n [/mm] und die divergieren
Gruß
schachuzipus
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