Konvergenz Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:39 Mo 30.08.2010 | | Autor: | delm |
| Aufgabe | Untersuchen Sie das folgende Integral auf Konvergenz:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^3+x}} dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe mich an der Aufgabenstellung versucht und bin mehr oder minder gescheitert...
Ich weiß, dass das uneigentliche Intregal konvergiert (Derive). Leider haperts am Beweis. Wendet man das Majoratenkirteium an und schätz den Bruch durch [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ab, erhält man als Stammfunktion den Logarithmus, der bekanntlich bei den angegebenen Grenzen divergiert.... Auch eine Aufspaltung des Integrals brachte keinen Erfolg.
Hat vielleicht irgendwer eine zündende Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
MfG,
delm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Mo 30.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin delm!
> Untersuchen Sie das folgende Integral auf Konvergenz:
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> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{x^3+x}} dx}[/mm]
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> Hallo,
>
> ich habe mich an der Aufgabenstellung versucht und bin mehr
> oder minder gescheitert...
> Ich weiß, dass das uneigentliche Intregal konvergiert
> (Derive). Leider haperts am Beweis. Wendet man das
> Majoratenkirteium an und schätz den Bruch durch
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ab, erhält man als Stammfunktion den
> Logarithmus, der bekanntlich bei den angegebenen Grenzen
> divergiert.... Auch eine Aufspaltung des Integrals brachte
> keinen Erfolg.
Fuer $x [mm] \ge [/mm] 1$ kannst du [mm] $\frac{1}{\sqrt{x^3 + x}}$ [/mm] nach oben durch [mm] $\frac{1}{\sqrt{x^3}}$ [/mm] abschaetzen. Damit bekommst du die Konvergenz des Integrals auf $[1, [mm] \infty)$.
[/mm]
EDIT: ich hatte versehentlich $[0, [mm] \infty)$ [/mm] anstelle $[1, [mm] \infty)$ [/mm] geschrieben. Danke an Marcel fuer den Hinweis! :)
Bleibt die Konvergenz auf $(0, 1]$. Dort kannst du den Integranden schreiben als [mm] $\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$. [/mm] Den zweiten Faktor kannst du nach oben durch 1 abschaetzen. Was ist [mm] $\int_0^1 x^{-1/2} [/mm] dx$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Mo 30.08.2010 | | Autor: | delm |
Danke Felix für diese schnelle und sehr hilfreiche Antwort. Nun ist alles klar!
Mach weiter so 
Beste Grüße,
delm
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