Konvergenz Kriterium bei Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo...
es sind mal wieder ein paar Fragen aus der Vorlesung übrig geblieben.
Es geht um Konvergenzkriterien bei Reihen.
Also zuerst haben wir das Konvergenzkriterium nach Cauchy aufgestellt:
Es sei [mm] (S_{N} [/mm] := [mm] \summe_{n=0}^{N}a_{n}, n\in \IN) [/mm] eine Reihe, so gibt es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] K(\varepsilon), [/mm] so dass für alle N,M > [mm] K(\varepsilon) [/mm] gilt:
[mm] |\summe_{n=M+1}^{N}a_{n}|< \varepsilon.
[/mm]
Dann folgte ein Satz:
(notwendige Bedingung für die Konvergenz)
Wenn [mm] \summe_{n=0}^{ \infty}a_{n} [/mm] konvergiert, dann gilt:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = 0.
Der Satz wird mit der Cauchyschen Konvergenzkriterium bewiesen:
Okay, da die Reihe konvergiert können wir davon ausgehen, dass
[mm] |\summe_{n=M+1}^{N}a_{n}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt.
Aber was nun???
Irgendwie wird im Buch nun N=M+1 gesetzt und daraus gefolgert, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n} [/mm] = 0 gilt.
Mir ist völlig schleierhaft wie man dahinkommt...
Kann mir das bitte jemand erklären?
dancingestrella
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Fr 10.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Hallo...
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> es sind mal wieder ein paar Fragen aus der Vorlesung übrig
> geblieben.
> Es geht um Konvergenzkriterien bei Reihen.
> Also zuerst haben wir das Konvergenzkriterium nach Cauchy
> aufgestellt:
> Es sei [mm](S_{N}[/mm] := [mm]\summe_{n=0}^{N}a_{n}, n\in \IN)[/mm] eine
> Reihe, so gibt es zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] ein [mm]K(\varepsilon),[/mm]
> so dass für alle N,M > [mm]K(\varepsilon)[/mm] gilt:
> [mm]|\summe_{n=M+1}^{N}a_{n}|< \varepsilon.
[/mm]
>
> Dann folgte ein Satz:
> (notwendige Bedingung für die Konvergenz)
> Wenn [mm]\summe_{n=0}^{ \infty}a_{n}[/mm] konvergiert, dann gilt:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = 0.
>
> Der Satz wird mit der Cauchyschen Konvergenzkriterium
> bewiesen:
> Okay, da die Reihe konvergiert können wir davon ausgehen,
> dass
> [mm]|\summe_{n=M+1}^{N}a_{n}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] gilt.
> Aber was nun???
> Irgendwie wird im Buch nun N=M+1 gesetzt und daraus
Also zunächst einmal ist das erlaubt, weil die Ungleichung ja für alle N, M > K gelten soll, also auch für N=M+1
> gefolgert, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}[/mm] = 0 gilt.
>
> Mir ist völlig schleierhaft wie man dahinkommt...
> Kann mir das bitte jemand erklären?
Es ist doch
[mm] \summe_{n=M+1}^{N}a_{M+1} [/mm] = [mm] a_{M+1}
[/mm]
Also gilt [mm] |a_{M+1}| < \varepsilon [/mm] für alle [mm] M > K( \varepsilon) [/mm].
Und damit ist die Bedingung für eine Nullfolge erfüllt.
Reicht das? Sonst frag nach.
Gruß Sigrid
>
> dancingestrella
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Danke für deine Antwort!
Zuerst einmal eine Frage, die wahrscheinlich leicht zu beantworten ist:
Ich verstehe nicht, dass
[mm] |a_{M+1} [/mm] |< [mm] \varepsilon [/mm] für alle M > [mm] K(\varepsilon)
[/mm]
eine Bedingung der Nullfolge ist. Kannst du mir das deutlich machen?
Ist bei der Wahl von N= m+1 ein tieferer Sinn dahinter, als das wir die ominöse Nullstellenbindung bekommen?
Und dann noch eine Formale Frage:
Deine Summenformel stimmt doch so nicht ganz, oder? Bezüglich Summen bin ich da zwar etwas ungeübt, aber müsste es nicht:
[mm] \summe_{n=M+1}^{M+1}a_{n} [/mm] = [mm] a_{M+1}
[/mm]
sein?
Viele Grüße, dancingestrella
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:55 Sa 11.12.2004 | | Autor: | Sigrid |
Hallo,
> Danke für deine Antwort!
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> Zuerst einmal eine Frage, die wahrscheinlich leicht zu
> beantworten ist:
> Ich verstehe nicht, dass
> [mm]|a_{M+1}[/mm] |< [mm]\varepsilon[/mm] für alle M > [mm]K(\varepsilon)
[/mm]
> eine Bedingung der Nullfolge ist. Kannst du mir das
> deutlich machen?
[mm] a_n [/mm] ist eine Nullfolge, wenn es zu jedem [mm] \varepsilon > 0 [/mm] ein [mm] n_0(\varepsilon) [/mm] gibt, so dass für alle [mm] n > n_0(\varepsilon) [/mm] gilt [mm] |a_n| < \varepsilon [/mm].
Wenn du nun
[mm] n_0 = K(\varepsilon) + 1 [/mm] setzt, gilt für alle [mm] M > K(\varepsilon) [/mm], also für alle [mm] M+1 > K(\varepsilon) + 1 [/mm] (bzw. für alle M+1 > [mm] n_0
[/mm]
[mm]|a_{M+1}|< \varepsilon[/mm]
Wenn du jetzt noch n für M+1 setzt, hast du auch formal die Definition.
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> Ist bei der Wahl von N= m+1 ein tieferer Sinn dahinter, als
> das wir die ominöse Nullstellenbindung bekommen?
Was meinst du mit Nullstellenbindung? Die Wahl N = M+1 sorgt dafür, dass deine Summe nur noch aus einer Zahl (einem Folgenglied besteht) besteht und das brauchst du ja bei der Bedingung für die Nullfolge.
>
> Und dann noch eine Formale Frage:
> Deine Summenformel stimmt doch so nicht ganz, oder?
> Bezüglich Summen bin ich da zwar etwas ungeübt, aber müsste
> es nicht:
> [mm]\summe_{n=M+1}^{M+1}a_{n}[/mm] = [mm]a_{M+1}
[/mm]
> sein?
Ja, natürlich. Damit hab ich auch gerechnet, aber leider nicht alle Grenzen korrekt angepasst.
Gruß Sigrid
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> Viele Grüße, dancingestrella
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