Konvergenz Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:57 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
| Aufgabe | Ist die folgende Reihe divergent, konvergent oder absolut konvergent?
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5} [/mm] |
Bei dieser Aufgabe war ich mir unsicher und wollte euch fragen, ob meine Lösung stimmt.
Ich habe absolute konvergenz mithilfe des Wurzelkriteriums gezeigt:
[mm] k\wurzel{\bruch{e^k}{k^5}} [/mm] = [mm] \bruch{e}{k\wurzel{k^5}} [/mm] = [mm] \bruch{e}{k\wurzel{k}^5}
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{e}{k\wurzel{k}^5} [/mm] = 0, da ja e = 2,7182818... und der untere Termk [mm] k\wurzel{k}^5 [/mm] für [mm] n\ge2 [/mm] immer größer als e ist, also die Folge monoton fällt.
Da nun die Folge gegen 0 konvergiert, der Limes also kleiner als 1 ist, folgt nach dem Wurzelkriterium, dass die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5} [/mm] absolut konvergent ist.
Richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:48 Mi 19.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> Ist die folgende Reihe divergent, konvergent oder absolut
> konvergent?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5}[/mm]
> Bei dieser Aufgabe war ich mir unsicher und wollte euch
> fragen, ob meine Lösung stimmt.
Merke: [mm] $e^x$ [/mm] schlägt jede Potenz
Von daher ist klar, dass die Reihe divergiert.
>
> Ich habe absolute konvergenz mithilfe des Wurzelkriteriums
> gezeigt:
>
> [mm]\wurzel[k]{\bruch{e^k}{k^5}} = \bruch{e}{\wurzel[k]{k^5}} = \bruch{e}{k^{\br{5}{k}}}[/mm]
Ich habe mal das gesetzt, was Du wahrscheinlich meinst.
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{e}{\wurzel[k]{k}^5}[/mm] = 0,
> da ja e = 2,7182818... und der untere Termk [mm]k\wurzel{k}^5[/mm]
> für [mm]n\ge2[/mm] immer größer als e ist,
Da frage ich mal meinen Taschenrechner: [mm] $100^{\br{5}{100}} \approx [/mm] 1,26$ sagt der.
> also die Folge monoton
> fällt.
>
> Da nun die Folge gegen 0 konvergiert, der Limes also
> kleiner als 1 ist, folgt nach dem Wurzelkriterium, dass die
> Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{e^k}{k^5}[/mm] absolut
> konvergent ist.
> Richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:09 Mi 19.11.2014 | | Autor: | dodo1924 |
Ok, da hab ich die wurzel wohl falsch in den taschenrechner eingetippt und bin deshalb auf extrem hohe ergebnisse gekommen ^^
Dann gilt, dass [mm] k^\bruch{5}{k} [/mm] ab n=5 immer kleiner wird und ab einem [mm] n_e [/mm] sogar e unterschreitet, was zur Folge hat, dass die Folge [mm] \bruch{e}{k^\bruch{5}{k}} [/mm] gegen e strebt (da sich [mm] k^\bruch{5}{k} [/mm] ja der 1 annähert) oder?
Also ist der limes größer als 1 [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5} [/mm] = e > 1), also ist die Reihe lt Wurzelkriterium divergent!
Nun richtig?
Danke, dass du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast! ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:20 Mi 19.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ok, da hab ich die wurzel wohl falsch in den taschenrechner
> eingetippt und bin deshalb auf extrem hohe ergebnisse
> gekommen ^^
>
> Dann gilt, dass [mm]k^\bruch{5}{k}[/mm] ab n=5 immer kleiner wird
wieso ?
k , dann n ??? Entscheide Dich mal !
> und ab einem [mm]n_e[/mm] sogar e unterschreitet,
wieso ?
> was zur Folge hat,
> dass die Folge [mm]\bruch{e}{k^\bruch{5}{k}}[/mm] gegen e strebt
> (da sich [mm]k^\bruch{5}{k}[/mm] ja der 1 annähert) oder?
Ja, aber ohne obiges Blabla
[mm] k^\bruch{5}{k} \to [/mm] 1 (k [mm] \to \infty)
[/mm]
somit haben wir [mm]\bruch{e}{k^\bruch{5}{k}} \to e[/mm]
> Also ist der limes größer als 1
Ja,
> [mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5}[/mm] = e > 1),
Das ist jetzt aber nicht richtig ! Es gilt
[mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5}= \infty[/mm]
> also ist die Reihe lt Wurzelkriterium divergent!
> Nun richtig?
Ja, bis auf
[mm](\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{e^k}{k^5}[/mm] = e > 1),
FRED
>
> Danke, dass du mich auf den Fehler aufmerksam gemacht hast!
> ;)
|
|
|
|
