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Konvergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:14 Mi 09.03.2011
Autor: Loriot95

Aufgabe
Untersuchen Sie, ob die Reihen
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{arctan(n)}{n+log(n)} [/mm]
konvergiert.

Guten Tag,

habe hier versucht das Quotientenkriterium anzuwenden. Komme aber nicht wirlich weit:
[mm] |\bruch{arctan(n+1)}{n+1+log(n+1)}* \bruch{n +log(n)}{arctan(n)}| [/mm] = | [mm] \bruch{arctan(n+1)}{arctan(n)}* \bruch{n + log(n)}{n+1+log(n+1)}| [/mm]

Hm und nun weiß ich ehrlich gesagt nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich?

LG Loriot95

        
Bezug
Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:31 Mi 09.03.2011
Autor: Teufel

Hi!

Wenn Wurzel-/Quotientenkriterium nicht klappen oder einfach unhandlich sind, würde ich einfach die Folge mal direkt angucken.
Weil der arctan nicht wirklich groß wird [mm] $(arctan(n)\le \frac{\pi}{2}, \forall [/mm] n [mm] \in \IN)$ [/mm] und der Logarithmus auch langsamer wächst als alle Polynome, fallen diese beiden Sachen nicht so sehr ins Gewicht und deshalb sollte sich die Reihe ca. wie [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} [/mm] verhalten, welche ja divergiert.

Also solltest du schauen, ob du Divergenz zeigen kannst, und das am besten in Form des Minorantenkriteriums.

Bezug
                
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Konvergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mi 09.03.2011
Autor: Loriot95

Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer wächst als alle Polynome wusste ich [mm] nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2n}. [/mm] Also wäre [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n} [/mm] eine divergente Minorante. Ist das so richtig?

LG Loriot95

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Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Mi 09.03.2011
Autor: fred97


> Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> wächst als alle Polynome wusste ich
> [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> eine divergente Minorante. Ist das so richtig?

Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm] \in \IN [/mm] mit:

      arctan(n) [mm] \le [/mm] 1   und n > log(n) für n [mm] \ge [/mm] m.


Warum ist das so ?

Dann gilt Deine Abschätzung für n [mm] \ge [/mm] m

FRED


>  
> LG Loriot95


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Konvergenz Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Mi 09.03.2011
Autor: Loriot95


> > Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> > wächst als alle Polynome wusste ich
> > [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> > [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> > eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
>  
> Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
>  
> arctan(n) [mm]\le[/mm] 1   und n > log(n) für n [mm]\ge[/mm] m.

müsste es nicht arctan(n) [mm] \ge [/mm] 1 sein?
Na ja weil der arctan nach oben beschränkt ist durch [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und da laut Teufel der Logarithmus langsamer wächst als jede Poylnom. So richtig?

>
> Warum ist das so ?
>  
> Dann gilt Deine Abschätzung für n [mm]\ge[/mm] m
>  
> FRED
>  
>
> >  

> > LG Loriot95
>  


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Konvergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:23 Mi 09.03.2011
Autor: fred97


> > > Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> > > wächst als alle Polynome wusste ich
> > > [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> > > [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> > > eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
>  >  
> > Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
>  >  
> > arctan(n) [mm]\le[/mm] 1   und n > log(n) für n [mm]\ge[/mm] m.
>  müsste es nicht arctan(n) [mm]\ge[/mm] 1 sein?


Klar, da hab ich mich vertippt

FRED

> Na ja weil der arctan nach oben beschränkt ist durch
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]



> und da laut Teufel der Logarithmus langsamer
> wächst als jede Poylnom. So richtig?
>  >

> > Warum ist das so ?
>  >  
> > Dann gilt Deine Abschätzung für n [mm]\ge[/mm] m
>  >  
> > FRED
>  >  
> >
> > >  

> > > LG Loriot95
> >  

>  


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Konvergenz Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:26 Mi 09.03.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
> > > Vielen Dank für deine Hilfe. Das der Logarithmus langsamer
> > > wächst als alle Polynome wusste ich
> > > [mm]nicht.\bruch{arctan(n)}{n+log(n)} \ge \bruch{1}{n+log(n)}[/mm] >
> > > [mm]\bruch{1}{2n}.[/mm] Also wäre [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{2n}[/mm]
> > > eine divergente Minorante. Ist das so richtig?
>  >  
> > Ja, aber nur wenn Du schreibat: es gibt ein m [mm]\in \IN[/mm] mit:
>  >  
> > arctan(n) [mm]\le[/mm] 1   und n > log(n) für n [mm]\ge[/mm] m.
>  müsste es nicht arctan(n) [mm]\ge[/mm] 1 sein?

Jo.

> Na ja weil der arctan nach oben beschränkt ist durch [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm]

Die Schranke nach oben alleine reicht nicht aus. Dann musst du schon dazu sagen, dass der [mm] \arctan [/mm] monton steigend ist und dass es tatsächlich einen Funktionswert [mm] \geq [/mm] 1 gibt. Es ist zum Beispiel [mm] \arctan(n)\geq [/mm] 1 für [mm] n\geq2 [/mm]

> da laut Teufel der Logarithmus langsamer wächst als jede Poylnom. So richtig?

Hier kannst du sogar sehr einfach irgendein m angeben mit [mm] n\geq\log(n) [/mm] für [mm] n\geq [/mm] m. Wähle zum Beispiel m=1.

Gruß

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Konvergenz Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:28 Mi 09.03.2011
Autor: Loriot95

Alles klar. Vielen Dank an euch :)

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