Konvergenz & Term für f(x) < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welches [mm]x \in \IR[/mm] ist die Funktion [mm] f(x)=x-x^3+x^5-x^7+-... [/mm] definiert. Berechnen Sie den Wert für $ [mm] x=\bruch{2}{3} [/mm] $ und geben Sie einen gebrochen rationalen Term für f(x) an. |
Mit definiert meint unser Prof. immer, wo ist die Funktion konvergent.
Ich bekomme zwar eine Summenformel zusammen, aber leider passt die nicht in die Form einer geometrischen Reihe, die ich aufgrund der Aufgabenstellung erwarte.
Meine Summe würde lauten [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{1+n}*x^{2n-1} [/mm].
Wie ich das mit dem gebrochen rationalen Term machen soll hab ich auch nicht so wirklich die Ahnung.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mo 14.09.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo maschbaustudent!
Forme Deine (richtige) Summe etwas um, und du kannst dies umwandeln in eine geometrische Reihe mit der entsprechenden Summenformel.
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{1+n}*x^{2n-1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)*(-1)^n*x^{2n}*x^{-1}$$
[/mm]
$$= \ [mm] (-1)*x^{-1}*\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n*\left(x^2\right)^n$$
[/mm]
$$= \ [mm] -\bruch{1}{x}*\summe_{n=1}^{\infty}\left(-x^2\right)^n$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Hierzu hab ich noch eine weitere Frage.
Meine Kommilitonen haben ihre Summenformel etwas anders aufgestellt. Bei denen sieht die so aus: [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n*x^{2n+1}[/mm]. Hierbei kommt zwar der selbe Konvergenzbereich raus, nicht jedoch der gleiche Wert für [mm] $x=\bruch{2}{3}$. [/mm] Deren konstanter Faktor ist x meiner hingegen [mm] $\bruch{1}{x}$ [/mm] Woran liegt das, bzw. was davon ist richtig???
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> Hierzu hab ich noch eine weitere Frage.
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> Meine Kommilitonen haben ihre Summenformel etwas anders
> aufgestellt. Bei denen sieht die so aus:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n*x^{2n+1}[/mm]. Hierbei kommt zwar
> der selbe Konvergenzbereich raus, nicht jedoch der gleiche
> Wert für [mm]x=\bruch{2}{3}[/mm]. Deren konstanter Faktor ist x
> meiner hingegen [mm]\bruch{1}{x}[/mm] Woran liegt das, bzw. was
> davon ist richtig???
wenn du bei deiner reihe ne indexverschiebung machst (z=n-1) kommst du auf den gleichen grenzwert. alternativ kannst du auch den wert für n=0 abziehen und somit den index auf 0 setzen.
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Leider hab ich nicht so ganz verstanden, was du mir sagen wolltest. Wo soll ich das z einsetzen, bzw. was ersetzt es in meiner Formel. Wovon soll ich den Wert von n=0 abziehen, der Index ist doch schon bei mir 0.
Sehe ich das richtig, dass mein Ergebnis falsch ist? Woher weiß ich mit welchem Index ich hätte anfangen müssen?
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> Leider hab ich nicht so ganz verstanden, was du mir sagen
> wolltest. Wo soll ich das z einsetzen, bzw. was ersetzt es
> in meiner Formel. Wovon soll ich den Wert von n=0 abziehen,
> der Index ist doch schon bei mir 0.
> Sehe ich das richtig, dass mein Ergebnis falsch ist? Woher
> weiß ich mit welchem Index ich hätte anfangen müssen?
du hattest:
$ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{1+n}\cdot{}x^{2n-1} [/mm] $
deine kommilitionen:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n\cdot{}x^{2n+1} [/mm] $
wie man sieht unterscheidet sich der laufindex.. und um eine reihe in eine geometrische umzuwandeln, muss auch der laufindex bei 0 beginnen (wie die untere reihe)
bei deiner reihe mit z=n-1 kämst du dann auch auf:
$ [mm] \summe_{z=0}^{\infty} (-1)^{z+2}\cdot{}x^{2z+1} [/mm] $
alternativ:
deine reihe: $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{1+n}\cdot{}x^{2n-1} [/mm] $
[mm] =-\frac{1}{x}* \summe_{n=1}^{\infty} (-x^2)^n
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{x}*(\summe_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n\red{-1})
[/mm]
[mm] =-\frac{1}{x}*(\frac{1}{1+x^2}-1)......
[/mm]
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AH, okay, mir war nicht bewusst, dass eine geometrische Reihe mit dem Index 0 anfangen muss. Bei mir in der Formelsammlung steht [mm] \summe_{n=1}{\infty} a*q^{n-1} [/mm]. Hier wird also auch eine Indexverschiebung gemacht. Ist wohl nur etwas kompliziert aufgeschrieben...
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> AH, okay, mir war nicht bewusst, dass eine geometrische
> Reihe mit dem Index 0 anfangen muss.
anfangen kann sie ja theoretisch wo sie will, nur zur umformung in die explizite form kenn ich das nur so dass es in jene "ausgangsform" gebracht werden muss:
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} a_0 q^k [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}a_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] = [mm] \frac{a_0}{1-q},
[/mm]
> Bei mir in der
> Formelsammlung steht [mm]\summe_{n=1}{\infty} a*q^{n-1} [/mm]. Hier
> wird also auch eine Indexverschiebung gemacht. Ist wohl nur
> etwas kompliziert aufgeschrieben...
ja mit z=n-1 steht ja quasi das gleiche wie oben 
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