Konvergenz allg. Reihe 2 < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Sei [mm] b_n [/mm] eine bescränkte Folge reeller Zahlen und [mm] \sum_{n=1}^\infty a_n [/mm] eone absolut konvergente reihe in [mm] \IR. [/mm]
Zeigen Sie , dass die Reihe [mm] \sum_{n=1}^\infty a_n b_n [/mm] absolut konvergiert.
Geben sie ein Gegenbeispiel an, wenn die Aussage falsch wird für eine konvergente (nicht absolut konvergente) reihe [mm] \sum_{n=1}^\infty a_n. [/mm] |
Hallo,
also ich habe mir überlegt, dass, wenn [mm] b_n [/mm] beschränkt ist gilt:
[mm] \exists [/mm] b [mm] \in \IR [/mm] mit [mm] |b_n| [/mm] <= b für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
Mit majorante folgt dann:
[mm] |a_n b_n| [/mm] <= [mm] |a_n [/mm] b| = [mm] b*|a_n| [/mm] aus der absoluten Konvergenz der Reihe zu [mm] a_n [/mm] folgt, dass [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge sein muss, deshalb folgt dann
[mm] b*|a_n| [/mm] <= q mit 0 <= q < 1 und damit ist die Reihe zu [mm] a_n b_n [/mm] absolut konvergent.
Geht das so?
Für das Gegenbeispiel würde ich eine beliebige alternierende, z.B. [mm] \sum_{n=1}^\infty (-1)^n*a_n [/mm] nehmen, die konvergiert.
Grüße,
Benjamin
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Hiho,
> [mm]\exists[/mm] b [mm]\in \IR[/mm] mit [mm]|b_n|[/mm] <= b für alle n [mm]\in \IN[/mm]
>
> Mit majorante folgt dann:
>
> [mm]|a_n b_n|[/mm] <= [mm]|a_n[/mm] b| = [mm]b*|a_n|[/mm] aus der absoluten Konvergenz
> der Reihe zu [mm]a_n[/mm] folgt, dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge sein muss,
> deshalb folgt dann
>
> [mm]b*|a_n|[/mm] <= q mit 0 <= q < 1 und damit ist die Reihe zu [mm]a_n b_n[/mm]
> absolut konvergent.
warum so kompliziert erklärt? Die Idee ist ja nicht schlecht, geht nur viel einfacher dann weiter einzusetzen.
[mm] $\left| \sum_{n=1}^\infty a_n b_n\right| \le \ldots \le [/mm] b [mm] \sum_{n=1}^\infty |a_n|$
[/mm]
Die [mm] \ldots [/mm] ergänzt du mal selbstständig.
> Für das Gegenbeispiel würde ich eine beliebige
> alternierende, z.B. [mm]\sum_{n=1}^\infty (-1)^n*a_n[/mm] nehmen,
> die konvergiert.
Aber nicht absolut konvergiert! Sonst wirds nämlich nix. Wie wählst du dir dann [mm] b_n [/mm] ?
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Hi,
also du meinst dann:
[mm] |\sum_{n=1}^\infty a_n b_n| [/mm] <= [mm] \sum_{n=1}^\infty |a_n b_n| [/mm] <= [mm] \sum_{n=1}^\infty |a_n [/mm] b| <= [mm] b*\sum_{n=1}^\infty |a_n|
[/mm]
Da die Reihe zu [mm] a_n [/mm] absolut konvergiert, konvergiert auch die Reihe der Beträge zu [mm] a_n [/mm] und damit auch das Produkt und somit das was zu zeigen war.
Muss ich [mm] b_n [/mm] denn noch wählen, es reicht doch, wenn die Folge weiterhin nur beschränkt ist. Oder?
Danke und Grüße,
Benjamin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 So 10.10.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, so ist es richtig. Und für das Gegenbeispiel solltest du wirklich 2 konkrete Folgen [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n [/mm] angeben.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 So 10.10.2010 | | Autor: | Peano08 |
Okay,
Danke euch für die Hilfe!!!
Grüße,
Benjamin
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