Konvergenz an den Rändern < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
wir haben die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}
[/mm]
Den Konvergenzradius habe ich mit dem Quotientenkriterium bestimmt, er ist 1.
Also die Reihe konvergiert für x [mm] \in [/mm] (-1, 1)
Wie sieht es jetzt an den Rändern aus? Nehmen wir x=1
Dann sieht unsere Reihe so aus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
weil [mm] 1^{irgendwas} [/mm] = 1
Ist das jetzt divergent oder konvergent? Muss ich hier jetzt n gegen unendlich laufen lassen und eine Grenzwertbetrachtung machen? Eigentlich nicht, oder? Laut Wolfram-Alpha divergiert die Reihe für x=1. Aber warum? Ist der Ausdruck in der Reihe eine Nullfolge?
Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mi 25.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Kann als beantwortet markiert werden, die Lösung ist hier das Minorantenkriterium mit der harmonischen Reihe.
Trotzdem danke und einen schönen Abend noch :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:34 Do 26.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> wir haben die Reihe
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
>
> Den Konvergenzradius habe ich mit dem Quotientenkriterium
> bestimmt, er ist 1.
>
> Also die Reihe konvergiert für x [mm]\in[/mm] (-1, 1)
>
> Wie sieht es jetzt an den Rändern aus? Nehmen wir x=1
>
> Dann sieht unsere Reihe so aus:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>
> weil [mm]1^{irgendwas}[/mm] = 1
>
> Ist das jetzt divergent oder konvergent? Muss ich hier
> jetzt n gegen unendlich laufen lassen und eine
> Grenzwertbetrachtung machen? Eigentlich nicht, oder? Laut
> Wolfram-Alpha divergiert die Reihe für x=1. Aber warum?
> Ist der Ausdruck in der Reihe eine Nullfolge?
Dass die Potenzreihe in x=1 divergiert, hast Du ja mittlerweile erkannt.
Wie siehts aus in x=-1 ?
>
> Vielen Dank im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Do 26.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo lieber Fred,
bei x=-1 divergiert die Reihe ebenfalls [mm] (-\infty)
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:15 Do 26.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo lieber Fred,
>
> bei x=-1 divergiert die Reihe ebenfalls [mm](-\infty)[/mm]
das stimmt nicht! denk an Leibniz
edit: es stimmt doch, und wir denken nicht an Leibniz
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Do 26.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
wenn ich die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm] $ habe
und x = -1 einsetze, dann ist [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] immer -1, weil durch das plus 1 steht im Exponenten immer eine ungerade Zahl, das bedeutet, ich habe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{-1}{2n+1}
[/mm]
und das ist ja nicht alternierend, sondern divergiert gegen minus unendlich. Wenn bei dem (-1) noch ein n übrig bleiben würde(als Exponent), dann würde es alternieren, dann hätte ich das Leibniz-Kriterium benutzt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Do 26.01.2017 | | Autor: | Chris84 |
Passt ;)
Ich nehme an (man moege mich korrigieren), dass FRED sowas wie [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ [/mm] im Sinn hatte. Klappt hier nur nicht, da, wie du schon geschrieben hast, der Exponent stets ungerade ist ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:57 Do 26.01.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> wenn ich die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> habe
>
> und x = -1 einsetze, dann ist [mm](-1)^{2n+1}[/mm] immer -1, weil
> durch das plus 1 steht im Exponenten immer eine ungerade
> Zahl, das bedeutet, ich habe:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{-1}{2n+1}[/mm]
>
> und das ist ja nicht alternierend, sondern divergiert gegen
> minus unendlich. Wenn bei dem (-1) noch ein n übrig
> bleiben würde(als Exponent), dann würde es alternieren,
> dann hätte ich das Leibniz-Kriterium benutzt.
Pardon, ich hab Unfug geschrieben
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 Do 26.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hey,
alles gut, ich habe am Anfang genau so gedacht. :)
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