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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz an den Rändern
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Konvergenz an den Rändern: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:35 Mi 25.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

wir haben die Reihe

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm]

Den Konvergenzradius habe ich mit dem Quotientenkriterium bestimmt, er ist 1.

Also die Reihe konvergiert für x [mm] \in [/mm] (-1, 1)

Wie sieht es jetzt an den Rändern aus? Nehmen wir x=1

Dann sieht unsere Reihe so aus:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1} [/mm]

weil [mm] 1^{irgendwas} [/mm] = 1

Ist das jetzt divergent oder konvergent? Muss ich hier jetzt n gegen unendlich laufen lassen und eine Grenzwertbetrachtung machen? Eigentlich nicht, oder? Laut Wolfram-Alpha divergiert die Reihe für x=1. Aber warum? Ist der Ausdruck in der Reihe eine Nullfolge?

Vielen Dank im Voraus.


        
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Konvergenz an den Rändern: Gelöst
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:09 Mi 25.01.2017
Autor: pc_doctor

Kann als beantwortet markiert werden, die Lösung ist hier das Minorantenkriterium mit der harmonischen Reihe.

Trotzdem danke und einen schönen Abend  noch :D

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Konvergenz an den Rändern: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:34 Do 26.01.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> wir haben die Reihe
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
>  
> Den Konvergenzradius habe ich mit dem Quotientenkriterium
> bestimmt, er ist 1.
>
> Also die Reihe konvergiert für x [mm]\in[/mm] (-1, 1)
>  
> Wie sieht es jetzt an den Rändern aus? Nehmen wir x=1
>  
> Dann sieht unsere Reihe so aus:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2n+1}[/mm]
>  
> weil [mm]1^{irgendwas}[/mm] = 1
>
> Ist das jetzt divergent oder konvergent? Muss ich hier
> jetzt n gegen unendlich laufen lassen und eine
> Grenzwertbetrachtung machen? Eigentlich nicht, oder? Laut
> Wolfram-Alpha divergiert die Reihe für x=1. Aber warum?
> Ist der Ausdruck in der Reihe eine Nullfolge?

Dass die Potenzreihe in x=1 divergiert, hast Du ja mittlerweile erkannt.

Wie siehts aus in x=-1 ?


>
> Vielen Dank im Voraus.
>  


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Konvergenz an den Rändern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:02 Do 26.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo lieber Fred,

bei x=-1 divergiert die Reihe ebenfalls [mm] (-\infty) [/mm]



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Konvergenz an den Rändern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:15 Do 26.01.2017
Autor: fred97


> Hallo lieber Fred,
>  
> bei x=-1 divergiert die Reihe ebenfalls [mm](-\infty)[/mm]

das stimmt nicht!  denk  an Leibniz

edit: es stimmt  doch, und wir denken nicht an Leibniz




>  
>  


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Konvergenz an den Rändern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:19 Do 26.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

wenn ich die Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1} [/mm] $ habe

und x = -1 einsetze, dann ist [mm] (-1)^{2n+1} [/mm] immer -1, weil durch das plus 1 steht im Exponenten immer eine ungerade Zahl, das bedeutet, ich habe:

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{-1}{2n+1} [/mm]

und das ist ja nicht alternierend, sondern divergiert gegen minus unendlich. Wenn bei dem (-1) noch ein n übrig bleiben würde(als Exponent), dann würde es alternieren, dann hätte ich das Leibniz-Kriterium benutzt.

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Konvergenz an den Rändern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Do 26.01.2017
Autor: Chris84

Passt ;)

Ich nehme an (man moege mich korrigieren), dass FRED sowas wie [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ [/mm] im Sinn hatte. Klappt hier nur nicht, da, wie du schon geschrieben hast, der Exponent stets ungerade ist ^^

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Konvergenz an den Rändern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:57 Do 26.01.2017
Autor: fred97


> Hallo,
>  
> wenn ich die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{x^{2n+1}}{2n+1}[/mm]
> habe
>  
> und x = -1 einsetze, dann ist [mm](-1)^{2n+1}[/mm] immer -1, weil
> durch das plus 1 steht im Exponenten immer eine ungerade
> Zahl, das bedeutet, ich habe:
>  
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{-1}{2n+1}[/mm]
>  
> und das ist ja nicht alternierend, sondern divergiert gegen
> minus unendlich. Wenn bei dem (-1) noch ein n übrig
> bleiben würde(als Exponent), dann würde es alternieren,
> dann hätte ich das Leibniz-Kriterium benutzt.  


Pardon,  ich hab Unfug geschrieben




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Konvergenz an den Rändern: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:23 Do 26.01.2017
Autor: pc_doctor

Hey,

alles gut, ich habe am Anfang genau so gedacht. :)

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