Konvergenz bei Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie alle x [mm] \in \IC, [/mm] für die die Reihe konvergiert:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n^2}}{n!} [/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{1 + x^{2n}} [/mm] |
Hallo,
allgemein bin ich sehr verwirrt weil ich x in den Komplexen Zahlen suchen soll.
zur a)
Habe das Quotientenkriterium angewand:
[mm] \bruch{x^{n+1}^2 n!}{(n+1)! n^{n^2}} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n^2} x^{2n} x x^{-(n^2)}}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{x^{2^{n+1}}}{n+1}
[/mm]
nach dem Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für [mm] \bruch{x^{2^{n+1}}}{n+1} [/mm] < 1 => für [mm] x^2 [/mm] < 1<=> x< 1
kann das richtig sein?Habe hier niergend die komplexen Zahlen, bzw. die imaginäre Einheit betrachtet.
Snafu
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Hi,
kann mir jemand sagen gegen was [mm] \bruch{z^n}{n} [/mm] konvergiert, bzw divergeiert, mit z [mm] \in \IR [/mm] ?
Snafu
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Hallo,
$\ [mm] \frac{z^n}{n} [/mm] $ mit $\ z [mm] \in \IR [/mm] $ konvergiert für $\ |z| [mm] \le [/mm] 1 $ und divergiert bestimmt für $\ |z| > 1 $. Für $\ z < 0 $ divergiert die Folge unbestimmt.
Sei $\ z = [mm] \frac{1}{a} \gdw z^n [/mm] = [mm] \frac{1}{a^n}$ [/mm] mit $\ a [mm] \in \IR \setminus \{0\}$
[/mm]
Dann ist $\ [mm] \frac{\frac{1}{a^n}}{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{na^n} \to [/mm] 0 $
Im anderen Fall läuft $\ [mm] z^n [/mm] $ immer schneller als $\ n $ und divergiert folglich.
Grüße
ChopSuey
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Hi,
also erst mal hatten wir keine Unterscheidung zw. bestimmter und unbestimmter Divergenz.
2. Wieso kann man nicht so agumentieren:
[mm] \bruch{z^b}{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} z^n [/mm] ---> 0 [mm] *\infty [/mm] = 0 , n---> [mm] \infty [/mm] ? Sprich dass es immer gegen Null konvergiert?
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Hallo,
> Hi,
>
> also erst mal hatten wir keine Unterscheidung zw.
> bestimmter und unbestimmter Divergenz.
Ist auch nicht zwingend Notwendig.
> 2. Wieso kann man nicht so agumentieren:
> [mm]\bruch{z^b}{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n} z^n[/mm] ---> 0 [mm]*\infty[/mm] = 0 ,
> n---> [mm]\infty[/mm] ? Sprich dass es immer gegen Null konvergiert?
Nein, das darfst du nicht. Siehe ![[]](/images/popup.gif) Grenzwertsätze.
Das Produkt zweier Folgen ist nur definiert, wenn beide Grenzwerte existieren.
Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mi 12.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Ah ok. Danke!
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Hallo Chop,
> Hallo,
>
> [mm]\ \frac{z^n}{n}[/mm] mit [mm]\ z \in \IR[/mm] konvergiert für [mm]\ |z| \le 1[/mm]
Hmm, nach Cauchy Hadamard konvergiert sie erstmal für [mm] $|z|\red{<}1$
[/mm]
Für $z=1$ hast du die harmonische Reihe, also Divergenz, für $z=-1$ die alternierende harmonische Reihe, also Konvergenz.
Insgesamt Konvergenz für [mm] $z\in[-1,1)$
[/mm]
> und divergiert bestimmt für [mm]\ |z| > 1 [/mm]. Für [mm]\ z < 0[/mm]
> divergiert die Folge unbestimmt.
Was meinst du damit?
>
> Sei [mm]\ z = \frac{1}{a} \gdw z^n = \frac{1}{a^n}[/mm] mit [mm]\ a \in \IR[/mm]
>
> Dann ist [mm]\ \frac{\frac{1}{a^n}}{n} = \frac{1}{na^n} \to 0[/mm]
>
> Im anderen Fall läuft [mm]\ z^n[/mm] immer schneller als [mm]\ n[/mm] und
> divergiert folglich.
>
> Grüße
> ChopSuey
>
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hi,
kannst du das mit Cauchy Hadamard genauer erklären? Ich kenne das Konvergenzradiuskrit. aber wie ich jetzt auf die Schlussfolgerung |z| < 1 komme dadurch, verstehe ich nicht ganz?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
>
> kannst du das mit Cauchy Hadamard genauer erklären? Ich
> kenne das Konvergenzradiuskrit. aber wie ich jetzt auf die
> Schlussfolgerung |z| < 1 komme dadurch, verstehe ich nicht
> ganz?
Na, was steht denn in dem Kriterium?
Du hast die Potenzreihe [mm] $\sum\limits_{n}\frac{1}{n}\cdot{}z^n$
[/mm]
Gem. Cauchy-Hadamard berechnest du [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{1}{n}\right|}=1=:\rho$
[/mm]
Damit hast du lt. Kriterium Konvergenz für [mm] $|z|<\rho$, [/mm] also $|z|<1$, gh. für [mm] $z\in(-1,1)$ [/mm] und Divergenz für $|z|>1$, also $z>1$ und $z<-1$
Über das Verhalten bei [mm] $|z|\red{=}1$ [/mm] sagt das Kriterium nix, da kann Konvergenz oder Divergenz vorliegen ...
Die Randpunkte [mm] $z\pm [/mm] 1$ musst du also gesondert untersuchen ..
Setze die beiden Werte mal ein und schaue, was sich für die Reihe jeweils ergibt ...
>
> Snafu
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mi 12.05.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Hallo schachuzipus,
kurz vorweg: ich bezog mich in meiner Antwort lediglich auf die Folge $\ [mm] a_n [/mm] = [mm] \frac{z^n}{n} [/mm] $. Nicht auf die Reihe $\ [mm] \sum a_n [/mm] $
> Hallo Chop,
>
> > Hallo,
> >
> > [mm]\ \frac{z^n}{n}[/mm] mit [mm]\ z \in \IR[/mm] konvergiert für [mm]\ |z| \le 1[/mm]
>
> Hmm, nach Cauchy Hadamard konvergiert sie erstmal für
> [mm]|z|\red{<}1[/mm]
Für $\ z = 1 $ gilt doch $\ [mm] \frac{1}{n} \to \infty [/mm] $.
>
> Für [mm]z=1[/mm] hast du die harmonische Reihe, also Divergenz,
> für [mm]z=-1[/mm] die alternierende harmonische Reihe, also
> Konvergenz.
S.o. Ich bezog mich bloß auf $\ [mm] a_n [/mm] $. Die Reihe, nach der im Eingangspost gefragt war, hab' ich nicht beachtet.
>
> Insgesamt Konvergenz für [mm]z\in[-1,1)[/mm]
>
> > und divergiert bestimmt für [mm]\ |z| > 1 [/mm]. Für [mm]\ z < 0[/mm]
> > divergiert die Folge unbestimmt.
>
> Was meinst du damit?
Das für $ z < 0 $ die Folge $\ [mm] a_n [/mm] $ alternierend ist.
>
> >
> > Sei [mm]\ z = \frac{1}{a} \gdw z^n = \frac{1}{a^n}[/mm] mit [mm]\ a \in \IR[/mm]
>
> >
> > Dann ist [mm]\ \frac{\frac{1}{a^n}}{n} = \frac{1}{na^n} \to 0[/mm]
> >
> > Im anderen Fall läuft [mm]\ z^n[/mm] immer schneller als [mm]\ n[/mm] und
> > divergiert folglich.
> >
> > Grüße
> > ChopSuey
> >
> >
> >
>
> Gruß
>
> schachuzipus
Vielen Dank für deine Mitteilung!
Grüße
ChopSuey
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Hi nochmal,
ok, sorry, dann hatte ich das zu schnell überlesen.
Dachte, du redest von der Reihe 
Bis dann und nix für ungut ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
> Bestimmen Sie alle x [mm]\in \IC,[/mm] für die die Reihe
> konvergiert:
> a) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{n^2}}{n!}[/mm]
> b) [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{1 + x^{2n}}[/mm]
>
> Hallo,
>
> allgemein bin ich sehr verwirrt weil ich x in den Komplexen
> Zahlen suchen soll.
> zur a)
> Habe das Quotientenkriterium angewand:
> [mm]\bruch{x^{n+1}^2 n!}{(n+1)! n^{n^2}}[/mm] = [mm]\bruch{x^{n^2} x^{2n} x x^{-(n^2)}}{n+1}[/mm]
> = [mm]\bruch{x^{2^{n+1}}}{n+1}[/mm]
> nach dem Quotientenkrit. konvergiert die Reihe für
> [mm]\bruch{x^{2^{n+1}}}{n+1}[/mm] < 1 => für [mm]x^2[/mm] < 1<=> x< 1
Ich kann deiner Rechnung leider nicht folgen. Hier aber einige Anmerkungen:
- Das Quotientenkriterium ist immer mit Beträgen außenrum ! Damit bekommst du höchstens eine Aussage für |x| ! Damit bekommst du natürlich auch konkrete Aussagen für [mm] x\in\IC.
[/mm]
- Hier darfst du das Quotientenkriterium nicht ohne weiteres anwenden! Um die Kriterien anwenden zu können, musst du deine Reihe strenggenommen immer erst in die Form [mm] \sum_{k=0}^{\infty}a_{k}*z^{k} [/mm] überführen. Berechne nuun zunächst [mm] a_{k}. [/mm] Daraus ergibt sich bei dir, dass die Folge [mm] a_{k} [/mm] unendlich oft den Wert Null annimmt --> Quotientenkriterium nicht anwendbar.
-Benutze stattdessen das Kriterium von Cauchy-Hadamard, und die Erkenntnis, dass [mm] \sqrt[n]{n!}\to\infty.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hi,
ok ich forme also erst mal um:
[mm] \bruch{x^{n^2}}{n!} [/mm] = [mm] \bruch{x^{n}}{n!} x^n [/mm] , [mm] a_n [/mm] := [mm] \bruch{x^{n}}{n!}
[/mm]
Ich vermute das Cauchy-Hadamard der bei als Divergenzradiuskriterium benannt Kriterium ist, deswegen:
wegen:d= lim [mm] \wurzel[n]{\bruch{x^{n}}{n!}} [/mm] = lim [mm] \bruch{x}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] = 0 => r = [mm] \infty [/mm] Divergenzradius
ist das so richtig?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
> ok ich forme also erst mal um:
> [mm]\bruch{x^{n^2}}{n!}[/mm] = [mm]\bruch{x^{n}}{n!} x^n[/mm] , [mm]a_n[/mm] :=
> [mm]\bruch{x^{n}}{n!}[/mm]
Nein, das ist falsch! [mm] a_{n} [/mm] darf natürlich nicht von x abhängen!
Es ist
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \begin{cases}\frac{1}{k!},\mbox{ falls } n = k^{2}\quad (k\in\IN)\\ 0 \mbox{ sonst.}\end{cases} [/mm] = [mm] \begin{cases}\frac{1}{(\sqrt{n})!},\mbox{ falls } n = k^{2}\quad (k\in\IN)\\ 0 \mbox{ sonst.}\end{cases}
[/mm]
Ist das einleuchtend? Dann:
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}*x^{(k^{2})} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}*x^{n}$.
[/mm]
Das Problem ist bloß, dass das auch mit Cauchy-Hadamard nicht mehr schön aussieht...
Du kannst alternativ Folgendes versuchen: Du kannst zunächst als konvergente Majorante der Reihe [mm] \sum_{k=0}^{\infty}x^{(k^{2})} [/mm] angeben. Diese hat Konvergenzradius 1.
Damit hat auch die Ausgangsreihe mindestens Konvergenzradius 1. Wenn du jetzt ein x finden könntest mit |x| = 1, wofür die Ausgangsreihe nicht konvergiert, wärst du fertig.
Grüße,
Stefan
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Hi,
sagen wir mal ich schrieb sie in die form [mm] a_n x^{n^2}. [/mm] Dann habe ich ja nach dem Cauchy-Hadamard-Kriterium:
[mm] lim|\bruch{k!}{(k+1)!}| [/mm] = 0 => r = [mm] \infty [/mm] => Konvergenz für |x| < [mm] \infty [/mm] (ich weiß das da nicht |x| hin kommt) aber jetzt ist es doch egal ob in der Potenz [mm] n^2 [/mm] steht wenn der Radius sowieso unendlich ist.,oder nicht? Wenn der Radius unendlich ist muss es doch für alle x konvergieren.
Snafu
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Hallo,
> Hi,
>
> sagen wir mal ich schrieb sie in die form [mm]a_n x^{n^2}.[/mm] Dann
> habe ich ja nach dem Cauchy-Hadamard-Kriterium:
Du darfst das Cauchy-Hadamard-Kriterium nicht anwenden! Dafür muss die Potenzreihe in der Form [mm] a_{n}*x^{n} [/mm] vorliegen! Es ist so, also würdest du in eine Formel, die nur für x < 1 gilt, x = 5 einsetzen und trotzdem mit diesem Ergebnis weiterrechnen wollen!
> [mm]lim|\bruch{k!}{(k+1)!}|[/mm] = 0 => r = [mm]\infty[/mm] => Konvergenz
> für |x| < [mm]\infty[/mm] (ich weiß das da nicht |x| hin kommt)
Ja, es käme |x| hin. Das Vorgehen ist aber falsch.
> aber jetzt ist es doch egal ob in der Potenz [mm]n^2[/mm] steht wenn
> der Radius sowieso unendlich ist.,oder nicht?
Das ist überhaupt nicht egal. Für x = 2 konvergiert die Reihe beispielsweise nicht.
(Etwas heuristisch, aber ich habe mal bis 100 summiert: Kommt ungefähr [mm] 10^{2852} [/mm] raus; bis 1000 summiert: Kommt [mm] 10^{298462} [/mm] raus...)
Grüße,
Stefan
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Hi,
ok bei der a) muss ich noch über legen. Will hier mal zu b) kommen.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{x^{2n}}{1 + x^{2n}} [/mm] , z := [mm] x^2
[/mm]
[mm] =>\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{z^{n}}{1 + z^{n}},
[/mm]
wende hier das Quotientenkriterium an( steppenhahn, meinte ich muss dafür erst in die Form [mm] \summe a_n x^k [/mm] umformen, aber bei uns in der Übung hat man das aber auch und umformung gemacht, deswegen verwende ich das hier erst mal so)
[mm] |\bruch{z^{n+1} (1+z^n)}{(1+z^{n+1}) z^n} [/mm] | = |z [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}| [/mm] ---> |z|
=> konvergenz für |z| < 1 <=> [mm] |x^2| [/mm] < 1 <=> -1 < x < 1
=> divergenz für |z| [mm] \ge [/mm] 1 <=> x [mm] \in \IR [/mm] \ (1,1)
geht das so? oder schon wieder was falsch?
Snafu
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Hallo,
ich will hier nur mal schnell etwas "Klärung" betreiben:
Es gibt zwei Möglichkeiten, festzustellen, wo (für welche x) eine Reihe konvergiert.
Hast du die Form einer Potenzreihe (wie bei (a) vorliegen), so kann man die Formel zur Berechnung des Konvergenzradius (Cauchy-Hadamard, Quotientenformel) benutzen.
Das wollte ich dir nahelegen. Ich musste allerdings feststellen, dass das ziemlich dumm von mir war.
Die zweite Möglichkeit: Du wendest die allgemeinen Kriterium für die Konvergenz einer Reihe an (da wird dann x auch immer mit einbezogen). Das hast du bei (a) richtig gemacht, und bist darauf gekommen, dass die Reihe für [mm] $\red{|x|\le 1}$ [/mm] (kleinergleich 1!) konvergiert, und für |x| > 1 divergiert.
Kannst du das nachvollziehen, anhand deiner Rechnung?
> [mm]|\bruch{z^{n+1} (1+z^n)}{(1+z^{n+1}) z^n}[/mm] | = |z
> [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}|[/mm] ---> |z|
Das stimmt aber nur, wenn du schon vorher |z| < 1 annimmst. (Sonst bilden [mm] z^{n} [/mm] und [mm] z^{n+1} [/mm] keine Nullfolgen, und der Ausdruck konvergiert eher gegen 1 (ich möchte es jetzt nicht genau ausrechnen, aber das Schema ist:
[mm] $\frac{1+z^{n}}{1+z^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{1+z^{n}}{1+z*z^{n}} \to \frac{1}{z}$,
[/mm]
weil am Ende nur noch die Exponentialfunktionen und deren Vorfaktoren interessieren.
> => konvergenz für |z| < 1 <=> [mm]|x^2|[/mm] < 1 <=> -1 < x < 1
> => divergenz für |z| [mm]\ge[/mm] 1 <=> x [mm]\in \IR[/mm] \ (1,1)
Das sagt das Quotientenkriterium nicht aus!!!
Da wir die gesamte Rechnung nur für den Fall |z| < 1 ausführen konnten, und sonst kein Ergebnis erhalten, müssen wir jetzt noch mehr arbeiten.
Du könntest zum Beispiel nun erstmal den Rand |z| = 1 untersuchen,
und was mit der Reihe passiert, wenn |z| > 1.
Grüße,
Stefan
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Hi,
> [mm]|\bruch{z^{n+1} (1+z^n)}{(1+z^{n+1}) z^n}[/mm] | = |z
> [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}|[/mm] ---> |z|
> Das stimmt aber nur, wenn du schon vorher |z| < 1 annimmst.
ich muss doch |z| < 1 nicht an nehmen, weil der Term [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] * z lautet , der Bruch konvergiert gegen 1 und somit:
lim [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] * z | = |z|
> Das sagt das Quotientenkriterium nicht aus!!!
Wieso? wenn ich weiß dass der Grenzwert |z| ist, so kann ich doch schließen das Konvergenz vorliegt für |z| < 1 , das sagt doch das Quotientenkriterium genau aus,oder?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
> > [mm]|\bruch{z^{n+1} (1+z^n)}{(1+z^{n+1}) z^n}[/mm] | = |z
> > [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}|[/mm] ---> |z|
>
> > Das stimmt aber nur, wenn du schon vorher |z| < 1
> annimmst.
>
> ich muss doch |z| < 1 nicht an nehmen, weil der Term
> [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}[/mm] * z lautet , der Bruch konvergiert
> gegen 1 und somit:
Eben nicht!
Der Bruch konvergiert nur im Fall |z| < 1 gegen 1. Das hatte ich in meinem letzten Post dargelegt! Schau' dir die Umformung des Bruches im Falle |z| [mm] \ge [/mm] 1 an! Dann verhält sich der Bruch wie ein Quotient zweier Polynome vom Grad n, wo die Koeffizienten vor den höchsten Termen entscheidend sind (Klammere [mm] z^{n} [/mm] oben und unten aus, dann Grenzwertsätze).
> lim [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}[/mm] * z | = |z|
>
> > Das sagt das Quotientenkriterium nicht aus!!!
Weil wir |z| <1 annehmen mussten, bekommen wir durch das Quotientenkriterium die Aussag: Konvergent.
Im Falls |z| [mm] \ge [/mm] 1 erhalten wir durch das Quotientenkriterium den Grenzwert 1 und damit keine Aussage.
Grüße,
Stefan
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Hi,
tut mir leid ich kann dir glaube nicht ganz folgen. Ich fange noch mal von vorne an:
Ich bilde das Quotientenkriterium [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_n}| [/mm] = [mm] |\bruch{z^{n+1} (1+z^n)}{(1+z^{n+1}) z^n}| [/mm] = | [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] z |
soweit müsste es passen.
Jetzt muss ich doch zeigen, gegen was der Term | [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] z | konvergiert, und diesen Grenzwert kleiner 1 setzen, um daraus auf mein |x| zu schließen.
Zuletzt ging es, wenn ich alles richtig verstanden habe, darum, wann [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] konvergiert. Du sagst, [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] konvergiert nur für |z| < 1. Habe ich das richtig verstanden?
Konvergiert [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] nicht für alle z gegen 1, weil Nenner und Zähler beide gegen [mm] \infty [/mm] streben? Und folgt daraus nicht, dass [mm] |\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] z| gegen |z| konvergiert?
Snafu
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Hallo,
> Zuletzt ging es, wenn ich alles richtig verstanden habe,
> darum, wann [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}[/mm] konvergiert. Du sagst,
> [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}[/mm] konvergiert nur für |z| < 1. Habe
> ich das richtig verstanden?
Nicht ganz.
Ich habe gesagt: Für |z| < 1 konvergiert der Bruch wirklich gegen 1.
Für |z| > 1 dagegen konvergiert der Bruch gegen z.
> Konvergiert [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}[/mm] nicht für alle z
> gegen 1, weil Nenner und Zähler beide gegen [mm]\infty[/mm]
> streben?
Was ist denn das für eine Begründung?
Schau dir doch mal die zwei Fälle an: Wenn |z| < 1, so sind [mm] (z^{n}) [/mm] und natürlich auch [mm] (z^{n+1}) [/mm] Nullfolgen, also:
[mm] $\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} \to \frac{1+0}{1+0} [/mm] = 1$
Klar? Das gilt übrigens auch für |z|=1 (Nützt uns aber nichts, weil das Quotientenkriterium dann keine Aussage macht).
Wenn |z| > 1, so sind [mm] z^{n} [/mm] und [mm] z^{n+1} [/mm] keine Nullfolgen mehr, und wie müssen den Grenzwert wie folgt berechnen:
[mm] $\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{\frac{1}{z^{n}} + 1}{\frac{1}{z^{n}} + z}$
[/mm]
Nun sind [mm] $(\frac{1}{z^{n}})$ [/mm] wegen $|z|> 1$ wieder Nullfolgen, und wir erhalten den Grenzwert [mm] \frac{1}{z}.
[/mm]
Klar?
Grüße,
Stefan
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Hi,
ok hab es soweit glaube verstanden.
Damit habe ich:
für |z| < 1 :
|z [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}| [/mm] ---> |z|
für |z| > 1 :
|z [mm] \bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}| [/mm] = |z [mm] \frac{\frac{1}{z^{n}} + 1}{\frac{1}{z^{n}} + z}| [/mm] ----> [mm] |\frac{z}{z} [/mm] | = 1
das muss jetzt aber stimmen??
Snafu
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Hallo,
> Hi,
> ok hab es soweit glaube verstanden.
> Damit habe ich:
> für |z| < 1 :
> |z [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}|[/mm] ---> |z|
Das ist richtig.
> für |z| > 1 :
> |z [mm]\bruch{1+z^n}{1+z^{n+1}}|[/mm] = |z [mm]\frac{\frac{1}{z^{n}} + 1}{\frac{1}{z^{n}} + z}|[/mm]
> ----> [mm]|\frac{z}{z}[/mm] | = 1
> das muss jetzt aber stimmen??
Ja. Das bedeutet, du kannst für den Fall |z| >1 keine Aussage machen, weil das Quotientenkriterium für "1" als Grenzwert keine Aussage macht.
Man muss sich jetzt etwas anderes überlegen.
Grüße,
Stefan
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Hi,
aber heißt das nicht einfach wegen dem Quotientenkriterium, dass die Reihe für |z| > 1 nicht konvergiert, weil der Quotient nie gegen echt kleiner eins konvergiert?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
>
> aber heißt das nicht einfach wegen dem
> Quotientenkriterium, dass die Reihe für |z| > 1 nicht
> konvergiert, weil der Quotient nie gegen echt kleiner eins
> konvergiert?
Das Quotientenkriterium macht keine Aussage, wenn der Term "irgendwie" gegen 1 konvergiert.
Es macht nur eine Aussage, wenn es ein [mm] N\in\IN [/mm] gibt so, dass für alle $n > N$ der Term
[mm] $\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|\ge [/mm] 1$
ist. Dafür müsstest du aber nachweisen, dass dem wirklich so ist (also sich die Folge nicht von unten der 1 annähert, sondern von oben).
Grüße,
Stefan
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Hallo,
kann ich die a) nicht als eine Teilfolge von exp (Z) = [mm] \summe_{k=0}^\infty \bruch{z^k}{k!} [/mm] sehen. Und diese Reihe konvergiert absolut für jedes z [mm] \in \IC [/mm] nach unserer Vorlesung?
Snafu
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Hallo,
> Hallo,
>
> kann ich die a) nicht als eine Teilfolge von exp (Z) =
> [mm]\summe_{k=0}^\infty \bruch{z^k}{k!}[/mm] sehen. Und diese Reihe
> konvergiert absolut für jedes z [mm]\in \IC[/mm] nach unserer
> Vorlesung?
Ich dachte, Aufgabe 1 wäre schon unter Dach und Fach?
Die angegebene Reihe ist keine Teilfolge von exp(z) !
Bei exp(z) gehört zu [mm] x^{k} [/mm] immer k!
Hier allerdings gehört zu [mm] x^{k} [/mm] sozusagen " [mm] \sqrt{k}! [/mm] ", also ein wesentlich kleinerer Faktor. Insbesondere haben die beiden Reihen nur ein oder zwei gemeinsame Glieder (schreib dir mal die Glieder auf...)
Grüße,
Stefan
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Hi,
soweit ich das sehe, und verstehe, sind wir soweit gekommen, dass dasCauchy-Hadamard Verfahren unbequem wäre, und man es mit einer Majorante versuchen soll.
Ich würde es aber gerne mit der Quotientenkriterium versuche:
Dafür :
[mm] |\frac{\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}}{\frac{x^{n^2}}{n!}}| [/mm] = [mm] |\frac{x^{2n+1}}{n+1}|=>x^2 [/mm] = z [mm] =>|\frac{z^{n+0,5}}{n+1}| --->\begin{cases} \infty, & \mbox{für } |z| > 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } |z| < 1 \mbox{ } \end{cases}
[/mm]
das würde folgen, dass Konvergenz für |z| < 1 vorliegt.
Ist das so falsch?
Snafu
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Hallo,
> Hi,
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> soweit ich das sehe, und verstehe, sind wir soweit
> gekommen, dass dasCauchy-Hadamard Verfahren unbequem wäre,
> und man es mit einer Majorante versuchen soll.
> Ich würde es aber gerne mit der Quotientenkriterium
> versuche:
> Dafür :
> [mm]|\frac{\frac{x^{(n+1)^2}}{(n+1)!}}{\frac{x^{n^2}}{n!}}|[/mm] =
> [mm]|\frac{x^{2n+1}}{n+1}|=>x^2[/mm] = z [mm]=>|\frac{z^{n+0,5}}{n+1}| --->\begin{cases} \infty, & \mbox{für } |z| > 1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } |z| < 1 \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>
> das würde folgen, dass Konvergenz für |z| < 1 vorliegt.
>
> Ist das so falsch?
Nein,
das ist richtig, und das habe ich dir auch schon geschrieben.
Du erhältst so sogar die Konvergenz für |z| = 1.
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:35 So 16.05.2010 | | Autor: | SnafuBernd |
Hey,
ok, dann wäre das wirklich abgehackt!
Danke!
Snafu
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Das macht doch den Reiz des Forums aus. Sich über den Stoff zu unterhalten und zu diskutieren.
