Konvergenz beweisen? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Bob123 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie untenstehende Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte
a) [mm] a_n [/mm] =: [mm] \frac{(2-n)^2}{2n^2-2} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Habe die Aufgabe aber in einem anderen Forum entdeckt, allerdings mit Fehlern...
Hi,
Ich brauche Hilfe bei einem Konvergenzbeweis, wie gehe ich da vor?
Den Grenzwert habe ich bereits errechnet, Grenzwert a = 1/2
Ich muss doch folgendermaßen anfangen:
Sei Epsilon > 0 gegeben, so, dann:
komm ich darauf indem ich |an-a| < Epsilon setze.
[mm] \frac{4n-5}{2n^2-2}
[/mm]
Aber wie geht es weiter? Wie beweise ich hier die Konvergenz, wie bringe ich das Epsilon ins Spiel?
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> Untersuchen Sie untenstehende Folgen auf Konvergenz und
> bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte
> a) [mm]a_n[/mm] =: [mm]\frac{(2-n)^2}{2n^2-2}[/mm]
> Hi,
>
> Ich brauche Hilfe bei einem Konvergenzbeweis, wie gehe ich
> da vor?
> Den Grenzwert habe ich bereits errechnet, Grenzwert a =
> 1/2
> Ich muss doch folgendermaßen anfangen:
>
> Sei Epsilon > 0 gegeben, so, dann:
>
> komm ich darauf indem ich |an-a| < Epsilon setze.
>
> [mm]\frac{4n-5}{2n^2-2}[/mm]
>
> Aber wie geht es weiter? Wie beweise ich hier die
> Konvergenz, wie bringe ich das Epsilon ins Spiel?
>
>
Die Definition hast du doch schon richtig hingeschrieben. Jetzt musst du im Prinzip nur die Folge und den Grenzwert für die Definitonsdeklaration einsetzten:
[mm] $|\frac{(2-n)^2}{2n^2-2}-\frac{1}{2}|<\varepsilon$
[/mm]
Jetzt bringst du alles auf einen Bruch und vereinfachst. Danach schätzt du das ganze nach oben hin ab und gibst wie in der Definiton ein N an, für das die Folge konvergiert.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Bob123 |
Und wie tu ich das nach oben hin abschätzen?
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Hallo,
> Und wie tu ich das nach oben hin abschätzen?
Was?
Die Frage ist Ernst gemeint: es wurde dir geraten die Differenz im Betrga zu vereinfachen. Das hast du offensichtlich jedoch noicht getan, denn
- es steht oben nicht
- wenn du es richtig gemacht hättest, dann wüprdest du mir Recht geben, dass sich dann deine obioge Frage nicht mehr stellt, weil es dann völlig trivial ist.
Im Zähler des Bruchs wird nämlcih eine Differenz stehen, und es wird einzig und alleine darauf ankommen, in dieser Diefferenz etwas wegzulassen, so dass der entstehende Term größer ist als der ursprüngliche...
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:31 Di 13.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Bob und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> [mm]\frac{4n-5}{2n^2-2}[/mm]
Hier hast du ein Vorzeichenfehler gemacht. Es gilt:
[mm] \frac{(2-n)^2}{2(n^2-1)}-\frac{1}{2}=\frac{(2-n)^2-(n^2-1)}{2(n^2-1)}=\frac{5-4n}{2(n^2-1)} [/mm] für alle [mm] n\in\IN\setminus\{1\}.
[/mm]
edit: Okay, anscheinend hast du das Vorzeichen ausgeklammert
und die Eigenschaft des Betrags ausgenutzt (Danke Sax!).
> Aber wie geht es weiter? Wie beweise ich hier die
> Konvergenz, wie bringe ich das Epsilon ins Spiel?
Wähle ein
[mm] N=N(\epsilon)\in\IN,
[/mm]
sodass gilt:
[mm] \left|a_n-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right|<\epsilon [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$.
Hier empfehle ich zunächst
[mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right|
[/mm]
nach oben abzuschätzen.
Gruß
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:54 Di 13.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
es liegt durchaus kein Vorzeichenfehler vor.
Der Rest wurde schon gesagt.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:04 Mi 14.05.2014 | | Autor: | Bob123 |
Hi, danke für deine Antwort, immernoch die Frage, wie schätzt man generell nach oben ab? Ich versteh das nicht mit dem Abschätzen, was muss man da tun? Wählt man willkürlich einfach einen Wert oder was genau muss man da machen? Ich kann ja einfach irgendeine große Zahl wählen und die ist dann größer als der Ausdruck bzw. kleiner... Gibt es da bestimmte Tricks oder bestimmte Regeln zu befolgen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mi 14.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi, danke für deine Antwort, immernoch die Frage, wie
> schätzt man generell nach oben ab? Ich versteh das nicht
> mit dem Abschätzen, was muss man da tun? Wählt man
> willkürlich einfach einen Wert oder was genau muss man da
> machen? Ich kann ja einfach irgendeine große Zahl wählen
> und die ist dann größer als der Ausdruck bzw. kleiner...
> Gibt es da bestimmte Tricks oder bestimmte Regeln zu
> befolgen?
Kurz: dafür gibt es keine Kochrezepte !
Zu Deinem Fall:
$ [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| [/mm] $
Zunächst sollten wir die Beträge loswerden:
$ [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| =\frac{4n-5}{2(n^2-1)}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Wegen 4n-5 [mm] \le [/mm] 4n bekommen wir:
$ [mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| =\frac{4n-5}{2(n^2-1)} \le \frac{4n}{2(n^2-1)}=\frac{2n}{n^2-1}= \frac{2n}{(n-1)(n+1)}$ [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Wegen n+1 [mm] \ge [/mm] n ist [mm] \frac{2n}{(n-1)(n+1)} \le \frac{2n}{n(n-1)}=\frac{2}{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2, also:
[mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right| \le \frac{2}{n-1} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:14 Mi 14.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Eine "winzige" Abschätzung reicht völlig aus.
Es gilt:
[mm] \left|\frac{5-4n}{2(n^2-1)}\right|=\frac{4n-5}{2(n^2-1)}<\frac{4n-4}{2(n^2-1)}=\frac{4(n-1)}{2(n+1)(n-1)}=\frac{2}{n+1},
[/mm]
sodass wir übrigens (zur Verschönerung) mit
[mm] \frac{2}{n+1}<\frac{2}{n}
[/mm]
super bedient sind. 
Gruß
DieAcht
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