Konvergenz bzw. Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz oder Divergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n!}{n^{n}},
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+n}{n^{4}-11n^{2} + 3},
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n}n!}{n^{n}},
[/mm]
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2^{n}n!}{n^{n}}, [/mm] |
Hallo
die Aufgabe mag wahrscheinlich für die meisten hier recht simpel sein. Da ich sowas aber leider noch nie gemacht habe bringt sie mich an meine Grenzen.
Zunächst habe ich mal eine allgemeine Frage ob die erste Summe für n=0 überhaupt möglich ist?...und ob das mit dem Quotientenkriterium möglich ist?...weil ich es damit hin und her versuche...
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
setzt man [mm] $0^0 [/mm] = 1$, so geht das schon ab $n=0$.
Quotientenkriterium sieht schonmal nicht schlecht aus, zeig doch mal, was du hast.
Wurzelkriterium geht aber auch 
MFG,
Gono.
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Hallo...
danke für die schnelle Antwort. Ja das Wurzelkriterium hatten wir noch nicht deshalb würde ich das Quotientenkriterium nehmen.
Denn mit [mm] a_{n} [/mm] := [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] gilt für alle n [mm] \ge [/mm] 0
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|= \bruch{(n+1)! * n^{n}}{n! * (n+1)^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1) * n^{n}}{(n+1)^{n+1}} [/mm] = ( [mm] \bruch{n}{n+1} )^{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1+ \bruch{1}{n})^{n}} \le \bruch{1}{2} [/mm] =: [mm] \theta [/mm] < 1
ist das denn so richtig?
und beim zweiten würde ichd ann wie folgt beginnen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2} +n}{n^{4} -11n^{2}+3}=
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1 +\bruch{1}{n}}{n^{2} -11+\bruch{3}{n^{2}}}
[/mm]
aber wäre diese Umformung dann überhaupt hilfreich?...und welches Kriterium würde ich dann am besten nutzen?
Es fällt mir immer noch schwer das zu erkennen
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo...
>
> danke für die schnelle Antwort. Ja das Wurzelkriterium
> hatten wir noch nicht deshalb würde ich das
> Quotientenkriterium nehmen.
>
> Denn mit [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\bruch{n!}{n^{n}}[/mm] gilt für alle n [mm]\ge[/mm] 0
> [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|= \bruch{(n+1)! * n^{n}}{n! * (n+1)^{n+1}}[/mm]
> = [mm]\bruch{(n+1) * n^{n}}{(n+1)^{n+1}}[/mm] = ( [mm]\bruch{n}{n+1} )^{n}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{(1+ \bruch{1}{n})^{n}} \le \bruch{1}{2}[/mm] =:
> [mm]\theta[/mm] < 1
>
> ist das denn so richtig?
ja ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") . Du könntest (in angeberischer Absicht) natürlich auch alternativ
[mm] $$|a_{n+1}/a_n| =\bruch{1}{(1+ \bruch{1}{n})^{n}} \to [/mm] 1/e < 1$$
benutzen. 
> und beim zweiten würde ichd ann wie folgt beginnen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2} +n}{n^{4} -11n^{2}+3}=[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1 +\bruch{1}{n}}{n^{2} -11+\bruch{3}{n^{2}}}[/mm]
>
> aber wäre diese Umformung dann überhaupt hilfreich?...und
> welches Kriterium würde ich dann am besten nutzen?
> Es fällt mir immer noch schwer das zu erkennen
Du kannst hier analog wie hier weitermachen. Der von Heuser zitierte Satz (den Du in obigem Link findest) sagt übrigens, grob gesagt, bei Reihen - mit Summanden, die Brüche der obigen Bauart (also etwa "gebrochenrationaler Art") sind - aus, dass "jeweils die Potenzen mit größtem Exponenten (also jeweils im Zähler und im Nenner des Bruches) das Konvergenzverhalten der Reihe bestimmen". (Natürlich unter entsprechenden Voraussetzungen - die man manchmal auch erst ab einem gewissen [mm] $n_0\,$ [/mm] für die Folge der Summanden hat, was aber kein Problem ist.)
Oben heißt das:
Die Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2} +n}{n^{4} -11n^{2}+3}$ [/mm] hat das gleiche Konvergenzverhalten wie [mm] $\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}}{n^{4}}\,.$
[/mm]
(Erinnerung: [mm] $\sum 1/n^2$ [/mm] konvergiert - das erkennt man entweder mit dem Majo-(naise... äh ne - ranten)kriterium durch Vergleich mit [mm] $\sum \frac{1}{n(n-1)}=\sum\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)\,,$ [/mm] oder mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz. Oder man erinnert sich, dass man z.B. mit dem Cauchyschen Verdichtungssatz mal bewiesen hat, dass [mm] $\sum 1/n^\alpha$ [/mm] genau dann konvergiert, wenn [mm] $\alpha [/mm] > 1$ ist!)
Wenn Dir das ein wenig zu suspekt ist:
$ [mm] \bruch{n^{2} +n}{n^{4} -11n^{2}+3} \le 1/n^2$ [/mm] zu beweisen wird Dir nicht gelingen. Aber
$ [mm] \bruch{n^{2} +n}{n^{4} -11n^{2}+3} \le k/n^2$ [/mm] (mit einem festen $1 < k < [mm] \infty$) [/mm] ist vielleicht beweisbar - je nach Wahl von [mm] $k\,$ [/mm] kannst Du diese Abschätzung vielleicht auch erst ab einem gewissen [mm] $n_0=n_0(k)$ [/mm] zeigen. Wichtig aber: [mm] $k\,$ [/mm] ist eine Konstante, insbesondere unabhängig von [mm] $n\,.$
[/mm]
P.S.:
Wenn Du keine Ahnung für eine geeignete Wahl von [mm] $k\,$ [/mm] hast, so plotte Dir vielleicht mal die Graphen der folgenden beiden Funktionen:
$$x [mm] \mapsto \bruch{x^{2} +x}{x^{4} -11x^{2}+3}$$
[/mm]
und
$$x [mm] \mapsto 4/x^2\,.$$
[/mm]
Das, was man da "sieht" (z.B. für $x [mm] \ge [/mm] 5$ - eigentlich sieht man viel mehr, wenn man sich auf $x [mm] \in \IN$ [/mm] beschränkt!) läßt sich bspw. induktiv (weil wir nur $x=n [mm] \in \IN$ [/mm] betrachten) beweisen. Und damit kannst Du eine konvergente Majorante für Deine Reihe angeben mithilfe von (o.E. sei im Folgenden $n [mm] \ge [/mm] 5$)
[mm] $$\sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^4 a_k+\sum_{k=5}^n a_k \le \sum_{k=1}^4 a_k +\sum_{k=5}^\infty a_k\,,$$ [/mm]
sofern Du Dir klarmachst, dass [mm] $\sum_{k=p}^\infty \frac{4}{k^2}$ [/mm] (für ein und damit auch schon jedes $p [mm] \in \IN_0$) [/mm] eine konvergente Reihe ist.
Gruß,
Marcel
P.S.:
Wenn Du den Satz von Heuser, auf den ich im Link verweise, direkt benutzen willst:
Wir wollen zeigen, dass die Reihe
[mm] $$\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2} +n}{n^{4} -11n^{2}+3}$$
[/mm]
das gleiche Konvergenzverhalten wie die Reihe
[mm] $$\summe_{n=1}^\infty 1/n^2$$
[/mm]
hat.
Nach Heuser reicht es dafür, zu zeigen, dass
[mm] $$(\*)\;\;\;\frac{\bruch{n^{2} +n}{n^{4} -11n^{2}+3}}{1/n^2}$$
[/mm]
gegen eine Zahl $> 0$ konvergiert. Du wirst hier sicher (leicht?) zeigen können, dass der Term in [mm] $(\*)$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen 1 strebt.
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Danke für die ausführliche Antwort. Du hast mir nun soviele Wegeaufgezeigt, die ich nutzen könnte...das mir nicht ganz klar ist welcher davon der geeigneteste ist. Wir haben mit diesem Thema gerade angefangen und mir scheint das ich noch nicht genug Sätze habe um das so zeigen zu können...
ich bin recht hilflos wie genau von meiner Folge [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3} [/mm] zu beginnen...womit müsste ich denn genau anfangen?...kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Do 25.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die ausführliche Antwort. Du hast mir nun
> soviele Wegeaufgezeigt, die ich nutzen könnte...das mir
> nicht ganz klar ist welcher davon der geeigneteste ist.
ich würde sagen: Der Satz von Heuser. Aber meist ist der (noch nicht) bekannt. Daher empfehle ich nun: Majorantenkriterium!
> Wir
> haben mit diesem Thema gerade angefangen und mir scheint
> das ich noch nicht genug Sätze habe um das so zeigen zu
> können...
> ich bin recht hilflos wie genau von meiner Folge
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3}[/mm]
Du sprichst besser von der Reihe (was zunächst zwar auch nur eine Folge ist: Nämlich "die Folge ihrer Teilsummen").
> zu
> beginnen...womit müsste ich denn genau anfangen?...kann
> mir bitte jemand auf die Sprünge helfen?
Versuche z.B. mit Induktion zu beweisen, dass
[mm] $$\bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3} \le \frac{4}{n^2}$$
[/mm]
für jedes [mm] $n\,$ [/mm] gilt (in Hinblick auf den Induktionsschritt kann es hier sinnvoll sein, die Abschätzung für $n=1,2,3$ durch direktes Nachrechnen zu führen, und dann mit Induktion zu beweisen, dass sie auch für alle $n [mm] \ge [/mm] 4$ gilt. Das wird meinem Gefühl nach jedenfalls durch das Bild der Graphen, die ich Dir zu plotten empfohlen habe, "suggeriert".)
P.S.:
Ich habe die zweite Funktion abgeändert: (Minimal, aber eigentlich auch unbedeutend) Besser ist es, als Vergleichsfunktion $x [mm] \mapsto 4/x^2$ [/mm] zu nehmen.
Gruß,
Marcel
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Hallo,
>
> > Danke für die ausführliche Antwort. Du hast mir nun
> > soviele Wegeaufgezeigt, die ich nutzen könnte...das mir
> > nicht ganz klar ist welcher davon der geeigneteste ist.
>
> ich würde sagen: Der Satz von Heuser. Aber meist ist der
> (noch nicht) bekannt. Daher empfehle ich nun:
> Majorantenkriterium!
Ja dieser Satz ist bei uns nicht geläufig und es wurde uns auch das Majorantenkriterium empfohlen dessen anwendung mir trotzdem leider nicht recht gelingen will.
> > Wir
> > haben mit diesem Thema gerade angefangen und mir scheint
> > das ich noch nicht genug Sätze habe um das so zeigen zu
> > können...
> > ich bin recht hilflos wie genau von meiner Folge
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3}[/mm]
>
> Versuche z.B. mit Induktion zu beweisen, dass
> [mm]\bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3} \le \frac{4}{n^2}[/mm]
> für
> jedes [mm]n\,[/mm] gilt (in Hinblick auf den Induktionsschritt kann
> es hier sinnvoll sein, die Abschätzung für [mm]n=1,2,3[/mm] durch
> direktes Nachrechnen zu führen, und dann mit Induktion zu
> beweisen, dass sie auch für alle [mm]n \ge 4[/mm] gilt. Das wird
> meinem Gefühl nach jedenfalls durch das Bild der Graphen,
> die ich Dir zu plotten empfohlen habe, "suggeriert".)
>
ist es überhaupt nötig eine Induktion zu verwenden?... Denn die führt mich doch nicht weiter oder seh ich das einfach nur nicht?
LG Schmetterfee
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Huhu,
> ist es überhaupt nötig eine Induktion zu verwenden?...
> Denn die führt mich doch nicht weiter oder seh ich das
> einfach nur nicht?
nein, natürlich kannst du das auch direkt beweisen, was auch nicht schwer ist.
Find ich persönlich übrigens auch besser als Induktion
MFG,
Gono.
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> Huhu,
>
> > ist es überhaupt nötig eine Induktion zu verwenden?...
> > Denn die führt mich doch nicht weiter oder seh ich das
> > einfach nur nicht?
>
> nein, natürlich kannst du das auch direkt beweisen, was
> auch nicht schwer ist.
> Find ich persönlich übrigens auch besser als Induktion
>
>
Hallo
okay dann werde ich es wohl auch direkt versuchen zu beweisen. ich muss also eine Folge [mm] c_{n} [/mm] finden sodass [mm] |a_{k}| \le c_{k} [/mm] < [mm] \epsilon [/mm] ist. Mir ist jedoch nicht einleuchtend wie ich auf so ein [mm] c_{k} [/mm] komme...gibt es da irgendeiner Trick bei?
LG Schmetterfee
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Huhu,
hier ging es doch nur darum, zu zeigen, dass
[mm] $a_n \le \bruch{4}{n^2}$ [/mm] gilt
Dass [mm] $\summe \bruch{4}{n^2} [/mm] < [mm] +\infty$ [/mm] ist doch hoffentlich klar!
MFG,
Gono.
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> Huhu,
>
> hier ging es doch nur darum, zu zeigen, dass
>
> [mm]a_n \le \bruch{4}{n^2}[/mm] gilt
>
> Dass [mm]\summe \bruch{4}{n^2} < +\infty[/mm] ist doch hoffentlich
> klar!
>
hey...
aber wie komme ich auf den ersten blick auf diesen [mm] \bruch{4}{n^2}?
[/mm]
und kann ich das voraussetzen? oder muss ich meinen bruch so umformen das er damit vergleichbar ist?
LG Schmetterfee
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Kann mir irgendjemand helfen..ich komme mit meinen umformungen echt nicht zu den gewünschten ergebnis...
LG Schmetterfee
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Huhu,
dann zeig deine Umformungen doch hier einfach mal, ohne können wir wohl kaum sehen, woran es hapert
MFG,
Gono.
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Huhu,
> aber wie komme ich auf den ersten blick auf diesen
> [mm]\bruch{4}{n^2}?[/mm]
auf den "ersten Blick" wird das selten was. Das ist meistens Erfahrung oder durch ein bisschen rumgerechne erahnt.
Im Übrigen reicht es oft genug aus, eine Abschätzung zu finden, die für ausreichend Große n gilt, da die erste endliche Anzahl an Gliedern für die Konvergenz einer Reihe ja völlig unerheblich ist.
> und kann ich das voraussetzen? oder muss ich meinen bruch
> so umformen das er damit vergleichbar ist?
Es reicht dir doch aus zu zeigen, dass
$ [mm] \bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3} \le \frac{4}{n^2} [/mm] $
gilt, also form das doch einfach so um, dass eine wahre Aussage herauskommt, z.B. auf beiden Seiten erstmal die Nenner wegmultiplizieren, dann steht da:
[mm] $\gdw n^2(n^2 [/mm] + n) [mm] \le 4(n^4 [/mm] - [mm] 11n^2 [/mm] + 3)$
[mm] $\gdw n^4 [/mm] + [mm] n^3 \le 4n^4 [/mm] - [mm] 44n^2 [/mm] + 12$
[mm] $\gdw [/mm] 0 [mm] \le 3n^4 [/mm] - [mm] n^3 [/mm] - [mm] 44n^2 [/mm] + 12$
Was im übrigen gar nicht für alle n gilt, aber für ausreichend Große, da [mm] n^4 \to +\infty [/mm] geht.
Soweit klar?
MFG,
Gono.
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Hallo
> > aber wie komme ich auf den ersten blick auf diesen
> > [mm]\bruch{4}{n^2}?[/mm]
>
> auf den "ersten Blick" wird das selten was. Das ist
> meistens Erfahrung oder durch ein bisschen rumgerechne
> erahnt.
> Im Übrigen reicht es oft genug aus, eine Abschätzung zu
> finden, die für ausreichend Große n gilt, da die erste
> endliche Anzahl an Gliedern für die Konvergenz einer Reihe
> ja völlig unerheblich ist.
>
stimmt auch..aber fürm mich stellt es ein echtes Problem dar so ne Abschätzungen zu finden geschweige dann zu sehen...
> > und kann ich das voraussetzen? oder muss ich meinen bruch
> > so umformen das er damit vergleichbar ist?
>
> Es reicht dir doch aus zu zeigen, dass
>
> [mm]\bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3} \le \frac{4}{n^2}[/mm]
>
> gilt, also form das doch einfach so um, dass eine wahre
> Aussage herauskommt, z.B. auf beiden Seiten erstmal die
> Nenner wegmultiplizieren, dann steht da:
>
> [mm]\gdw n^2(n^2 + n) \le 4(n^4 - 11n^2 + 3)[/mm]
>
> [mm]\gdw n^4 + n^3 \le 4n^4 - 44n^2 + 12[/mm]
>
> [mm]\gdw 0 \le 3n^4 - n^3 - 44n^2 + 12[/mm]
>
> Was im übrigen gar nicht für alle n gilt, aber für
> ausreichend Große, da [mm]n^4 \to +\infty[/mm] geht.
>
> Soweit klar?
>
Ja soweit ist mir das klar...jedoch sehe ich leider immer noch nicht ganz wie das denn weiter gehen soll..:-( Kannst du mir da noch weiter helfen?
LG Schmetterfee
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Huhu,
nunja, wir haben ja nun festgestellt, dass
$ [mm] a_n \le \frac{4}{n^2} [/mm] $ für ausreichend grosse n gilt.
d.h. es gibt ein N, so dass für [mm] $n\ge [/mm] N: [mm] a_n \le \bruch{4}{n^2}$ [/mm] gilt.....
Nun betrachten wir mal:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{N-1} a_n [/mm] + [mm] \summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \ldots$
[/mm]
Und hinten raus muss halt irgendwann $< [mm] +\infty$ [/mm] stehen.... von welchem Summanden weißt du denn nun schon, dass er kleiner unendlich ist und welchen kannst du abschätzen?
MFG,
Gono.
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> Huhu,
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> nunja, wir haben ja nun festgestellt, dass
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> [mm]a_n \le \frac{4}{n^2}[/mm] für ausreichend grosse n gilt.
>
> d.h. es gibt ein N, so dass für [mm]n\ge N: a_n \le \bruch{4}{n^2}[/mm]
> gilt.....
>
> Nun betrachten wir mal:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n = \summe_{n=1}^{N-1} a_n + \summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \ldots[/mm]
>
> Und hinten raus muss halt irgendwann [mm]< +\infty[/mm] stehen....
> von welchem Summanden weißt du denn nun schon, dass er
> kleiner unendlich ist und welchen kannst du abschätzen?
>
Naja ich könnte doch einfach mal sagen, dass
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{N-1} a_n [/mm] + [mm] \summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{N-1} a_{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}
[/mm]
das kann ich doch machen weil es für große n gelten soll oder?..dann müsste doch der zweite summand gegen null konvergieren und was mache ich dann mit dem ersten?
LG Schmetterfee
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> Naja ich könnte doch einfach mal sagen, dass
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{N-1} a_n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{N-1} a_{n}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}[/mm]
Ok
> das kann ich doch machen weil es für große n gelten soll
> oder?
Ja, hatten wir ja geschrieben.
> ..dann müsste doch der zweite summand gegen null
> konvergieren und was mache ich dann mit dem ersten?
Wie könnte denn der zweite Summand gegen Null gehen? Offensichtlich ist doch
[mm] $\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}} \ge \bruch{4}{N^2} [/mm] > 0$
Aber du weisst, dass
[mm] $\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}$
[/mm]
konvergiert, d.h. es gilt:
[mm] $\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Weiterhin ist
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty} a_n$
[/mm]
eine endliche Summe und damit kleiner Unendlich!
MFg,
Gono.
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Hallo
> > Naja ich könnte doch einfach mal sagen, dass
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{N-1} a_n[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{N-1} a_{n}[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}[/mm]
>
> Ok
>
> > das kann ich doch machen weil es für große n gelten soll
> > oder?
> Ja, hatten wir ja geschrieben.
>
> > ..dann müsste doch der zweite summand gegen null
> > konvergieren und was mache ich dann mit dem ersten?
>
> Wie könnte denn der zweite Summand gegen Null gehen?
> Offensichtlich ist doch
>
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}} \ge \bruch{4}{N^2} > 0[/mm]
>
> Aber du weisst, dass
>
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}[/mm]
>
> konvergiert, d.h. es gilt:
>
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}} < \infty[/mm]
>
> Weiterhin ist
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm]
>
> eine endliche Summe und damit kleiner Unendlich!
>
Könnte ich dann einfach insgesamt sagen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{N-1} a_n [/mm] + [mm] \summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{N-1} a_{n} [/mm] + [mm] \summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}< \infty
[/mm]
aber damit habe ich doch immer nmoch nicht gezeigt, dass sie konvergiert..wie mache ichd ann weiter?
LG Schmetterfee
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Huhu,
> Könnte ich dann einfach insgesamt sagen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{N-1} a_n[/mm] +
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{N-1} a_{n}[/mm] +
> [mm]\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}< \infty[/mm]
> aber damit
> habe ich doch immer nmoch nicht gezeigt, dass sie
> konvergiert..wie mache ichd ann weiter?
Klar hast du das gezeigt:
Überleg mal: Die Folge [mm] s_n [/mm] der Partialsummen ist dann offensichtlich beschränkt und monoton (warum?)
Was sagt dir das über [mm] s_n [/mm] ?
MFG,
Gono.
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hallo
> > Könnte ich dann einfach insgesamt sagen
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{N-1} a_n[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=N}^{\infty} a_n \le \summe_{n=1}^{N-1} a_{n}[/mm] +
> > [mm]\summe_{n=N}^{\infty} \bruch{4}{n^{2}}< \infty[/mm]
> > aber
> damit
> > habe ich doch immer nmoch nicht gezeigt, dass sie
> > konvergiert..wie mache ichd ann weiter?
>
> Klar hast du das gezeigt:
>
> Überleg mal: Die Folge [mm]s_n[/mm] der Partialsummen ist dann
> offensichtlich beschränkt und monoton (warum?)
Naja ich würde aufjeden fall sagend as sie monoton fällt aber warum ist ne andere Frage...der Nenner wird ja immer größer und jedes Glied damit aber immer kleiner aber wie ich das formal richtig ausdrücke ...
> Was sagt dir das über [mm]s_n[/mm] ?
naja damit folgt, dass [mm] s_{n} [/mm] konvergiert und damit auch die reihe insagesamt ja?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schmetterfee!
> > Überleg mal: Die Folge [mm]s_n[/mm] der Partialsummen ist dann
> > offensichtlich beschränkt und monoton (warum?)
> Naja ich würde aufjeden fall sagend as sie monoton fällt
> aber warum ist ne andere Frage...
Wie das? Es werden doch immer mehr kleine aber dennoch positive Summanden hinzugefügt.
> der Nenner wird ja immer größer und jedes Glied damit aber immer
> kleiner aber wie ich das formal richtig ausdrücke ...
Du sollst nicht die Einzelsummanden betrachten, sondern die Summe dessen.
> > Was sagt dir das über [mm]s_n[/mm] ?
>
> naja damit folgt, dass [mm]s_{n}[/mm] konvergiert und damit auch die
> reihe insagesamt ja?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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Hallo...
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> > > Überleg mal: Die Folge [mm]s_n[/mm] der Partialsummen ist dann
> > > offensichtlich beschränkt und monoton (warum?)
> > Naja ich würde aufjeden fall sagend as sie monoton
> fällt
> > aber warum ist ne andere Frage...
>
> Wie das? Es werden doch immer mehr kleine aber dennoch
> positive Summanden hinzugefügt.
>
>
> > der Nenner wird ja immer größer und jedes Glied damit
> aber immer
> > kleiner aber wie ich das formal richtig ausdrücke ...
>
> Du sollst nicht die Einzelsummanden betrachten, sondern die
> Summe dessen.
>
Ja stimmt...es fällt mir immer noch schwer dran zu denken nicht nru Folgeglieder zu betrachten. Bin einfach zu sehr an die Folgen gewöhnt.
>
> > > Was sagt dir das über [mm]s_n[/mm] ?
> >
> > naja damit folgt, dass [mm]s_{n}[/mm] konvergiert und damit auch die
> > reihe insagesamt ja?
>
>
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Gut dann hätte ich dir Reihe abgeschlossen. Ich habe dann noch eine kurze Frage zu der Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3^{n} n!}{n^{n}}
[/mm]
habe das Quotientenkriterium angewendent und ein [mm] \theta [/mm] erhalten von [mm] \bruch{3}{e} [/mm] was mir nur zeigt, dass es nach diesem Kriteriium nicht konvergiert wo nach könnte ichd ann diese Rehe am besten abschätzen?
LG Schmetterfee
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Huhu,
> habe das
> Quotientenkriterium angewendent und ein [mm]\theta[/mm] erhalten von
> [mm]\bruch{3}{e}[/mm] was mir nur zeigt, dass es nach diesem
> Kriteriium nicht konvergiert wo nach könnte ichd ann diese
> Rehe am besten abschätzen?
Also wie du auf [mm] \bruch{3}{e} [/mm] kommst, ist mir ein wenig schleierhaft, aber dass die Summe nicht konvergiert, ist richtig.
Versuche zu zeigen:
[mm] \bruch{1}{n} \le \bruch{3^n*n!}{n^n}
[/mm]
Wie könntest du dann abschätzen?
Aber wieso musst du das überhaupt machen? Das Quotientenkriterium sagt das doch bereits aus....
MFG,
Gono.
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> Huhu,
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> > habe das
> > Quotientenkriterium angewendent und ein [mm]\theta[/mm] erhalten von
> > [mm]\bruch{3}{e}[/mm] was mir nur zeigt, dass es nach diesem
> > Kriteriium nicht konvergiert wo nach könnte ichd ann diese
> > Rehe am besten abschätzen?
>
> Also wie du auf [mm]\bruch{3}{e}[/mm] kommst, ist mir ein wenig
> schleierhaft, aber dass die Summe nicht konvergiert, ist
> richtig.
>
Naja einfachQK dann [mm] \bruch{3^{n+1} n+1! n^{n}}{(n+1)^{n+1}3^{n} n!}= [/mm] 3 [mm] (\bruch{n+1}{n})^{-n}= [/mm] 3 * (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{-n}= \bruch{3}{e}
[/mm]
oder nicht richtig?
> Versuche zu zeigen:
>
> [mm]\bruch{1}{n} \le \bruch{3^n*n!}{n^n}[/mm]
>
> Wie könntest du dann abschätzen?
>
> Aber wieso musst du das überhaupt machen? Das
> Quotientenkriterium sagt das doch bereits aus....
>
aber ich hätte so doch nur gezeigt das das quotientenkriterium nicht anwendbar ist und kann doch deswegen nicht folgern das sie divergiert oder doch?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn ds QK eine Zahl z echt >1 ergibt, dann heisst das ja, dass [mm] a_{n+1}>z*a_n [/mm] ist , d.h. die Summanden wachsen wie [mm] z^n
[/mm]
dann ist die Reihe divergent!
nur wenn der GW des Quotienten gegen 1 geht, weiss man nicht ob konv oder divergent.
Gruss leduart
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Okay...danke für die Erklärung...Jetzt weiß ich das das Quotientenkriterium mir noch mehr sagt als gedacht.
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:39 Mo 29.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo
> > > aber wie komme ich auf den ersten blick auf diesen
> > > [mm]\bruch{4}{n^2}?[/mm]
> >
> > auf den "ersten Blick" wird das selten was. Das ist
> > meistens Erfahrung oder durch ein bisschen rumgerechne
> > erahnt.
> > Im Übrigen reicht es oft genug aus, eine Abschätzung
> zu
> > finden, die für ausreichend Große n gilt, da die erste
> > endliche Anzahl an Gliedern für die Konvergenz einer Reihe
> > ja völlig unerheblich ist.
> >
> stimmt auch..aber fürm mich stellt es ein echtes Problem
> dar so ne Abschätzungen zu finden geschweige dann zu
> sehen...
Für große n verhält sich [mm] a_n:=\bruch{n^{2}+n}{n^{4} - 11n^{2}+3} [/mm] in etwa wie [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Daher die Vermutung: [mm] \sum a_n [/mm] konvergiert.
Ansatz: finde c>0 mit [mm] a_n \le \bruch{c}{n^2} [/mm] für n hinreichend groß
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:00 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
> > > aber wie komme ich auf den ersten blick auf diesen
> > > [mm]\bruch{4}{n^2}?[/mm]
lies Dir bitte meine Antwort hier nochmal durch. Ich empfehle Dir auch, den dort zitierten Satz von Heuser, vor allem den zugehörigen Beweis, mal durchzuarbeiten. Sobald Du diesen nämlich verstanden hast, wirst Du auch erkennen, wie "der Hase läuft" und wie man auf eine geeignete Majorante kommt - denn das ganze Geheimnis steckt eigentlich nur in dem Beweis des Satzes von Heuser, der zitiert wird. Sobald Du diesen verstanden hast, wirst Du mein Vorgehen (und auch Freds, was genau das gleiche war - leider kann ja nicht jeder den ganzen Thread nochmal durchlesen, um Wiederholungen zu vermeiden...) verstehen - denn der Beweis dort läuft im Wesentlichen auch nur mittels des Majo-Kriteriums.
Beste Grüße,
Marcel
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