Konvergenz der Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Hab hier [mm] a_{0}=1, a_{n+1}=1+\bruch{1}{a_{n}}
[/mm]
Damit die Folge konvergent ist muss sie beschränkt und monoton sein
Für Grenzwert kämen nur folgende Were in Frage
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=a
[/mm]
a=1+ [mm] \bruch{1}{a_{n}}
[/mm]
[mm] a^{2}-a-1=0
[/mm]
[mm] a_{1,2}= \pm\bruch{\wurzel{5}+1}{2}
[/mm]
Wie findet man aber die Schranken? Muss man die erraten oder zuerst die Grenzwertmöglichkeiten ausrechnen oder kann man die auch irgendwie ausrechnen????
Mit der Monotonie komm ich auch nicht weiter weil die Folgeglieder zwar immer kleiner werden aber dabei springen sie und man kann nicht einfach [mm] a_{n+1} \lea_{n} [/mm] anwenden
Danke
lg Stevo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:58 Do 01.12.2005 | | Autor: | zwerg |
Moin stevarino!
Wenn eine Folge konvergiert muss sie nicht monoton und beschränkt sein.
Das dies stimmt zeigt deine Aufgabe.
Umgekehrt wird ein Schuh draus: Wenn eine Folge monoton und beschränkt ist, ist sie auch konvergent.
Weitere Gegenbeispiele zu deinem "Kriterium" liefert jede alternierende, konvergente Folge.
Also wird es dir schwerfallen dieses "Kriterium" auf die ganze Folge anzuwenden.
Was aber geht ist:
i) zerlege deine Folge in zwei monotone Teilfolgen;
ii) zeige deren Konvergenz ( da sollte Monotonie + Beschränktheit [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz funktionieren ( bei richtiger Wahl der Teilfolgen));
iii) zeige das die Grenzwete dieser Teilfolgen gleich sind
[mm] \Rightarrow [/mm] die gesamte Folge ist konvergent
zu deinen Schranken:
das deine Folge [mm] a_{n}>0 [/mm] ist klar [mm] \to [/mm] nach unten beschränkt
Kandidaten für obere Schranken ist doch jedes [mm] b\in\IR [/mm] mit [mm] b\ge [/mm] 2
oder nich??
musst mal schaun mit welchen b der Nachweis am einfachsten zu führen ist.
P.S nicht raten gut schätzen :o)
MfG
saxneat
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 14:59 Do 01.12.2005 | | Autor: | stevarino |
Hallo
Das mit dem teilen in zwei Teilfolgen hab ich mir auch schon überlegt
wenn ich für eine Folge alle Glieder mit ungeraden Index nehm und für die zweite alle Glieder die geraden Index haben müßte es klappen aber wie bekomme ich die explizit angeschrieben?
Muß ich mir die für die Teilfolgen [mm] a_{n} =1,\bruch{3}{2},\bruch{8}{5}...und b_{n} =2,\bruch{3}{2},\bruch{13}{8} [/mm] zusammenbasteln
oder kann man die aus der rekursiven Darstellung ausdrücken ?
Danke
lg Stevo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Sa 03.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Stevo!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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