Konvergenz der Interpolation < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass für eine Funktion [mm] E\in C^{2}([a,b],\mathbb{R}) [/mm] die lineare Interpolation [mm] E_{m} [/mm] von E gleichmäßig gegen E konvergiert auf [a,b].
Dabei gelte [mm] a\leq k_{1} |
Hallo,
ich habe mal einen Beweis formuliert und würde gerne wissen, ob der so stimmt.
Da also E stetig auf einem kompakten Intervall ist, ist E dort gleichmäßig stetig. Ist [mm] x\in[a,b], [/mm] so gibt es ein i, sodass [mm] x\in[k_{i-1},k_{i}). [/mm] Ziel ist es ein natürliches N zu finden, sodass für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] und alle [mm] x\in[a,b] [/mm] gilt: [mm] |E_{m}(x)-E(x)|<\varepsilon. [/mm]
Wegen der gleichmäßigen Stetigkeit existiert für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0, [/mm] so dass für alle [mm] x,y\in[k_{i-1},k_{i}) [/mm] aus [mm] |x-y|<\delta [/mm] folgt [mm] |E(x)-E(y)|<\varepsilon/2. [/mm] Wähle N so groß, dass [mm] |k_{i-1}-k_{i}|<\delta [/mm] für alle [mm] m\geq [/mm] N gilt (also die Anzahl der Punkte des Linienzugs so erhöhen, dass ihr Abstand entsprechend klein wird, was ja sicherlich geht). Dann folgt für [mm] m\geq N:|E_{m}(x)-E(x)|\leq|E_{m}(x)-E(k_{i})|+|E(k_{i})-E(x)|\leq|E(k_{i-1})-E(k_{i})|+|E(k_{i})-E(x)|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.
[/mm]
Damit habe ich das meiner Meinung nach gezeigt. Stimmt das so?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 04.07.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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