Konvergenz der Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Fr 27.10.2006 | | Autor: | elfi123 |
| Aufgabe | | Ist die Reihe an= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(1-1/n) [/mm] divergent, konvergent oder absolut konvergent? |
Mit dieser Aufgabe habe ich ein Problem. Wenn es heißen würde 1+1/n, dann könnte ich die Aufgabe mit Minorantenkriterium lösen.
Bei 1-1/n weiß ich nicht wie ich das machen soll. Quotientenkriterium kann ich auch nicht anwenden, weil da 1 rauskommt.
Mit welchem Ansatz kann ich die Aufgabe lösen??
Schöne Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:58 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo elfi!
Lautet Deine Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\left(1-\bruch{1}{n}\right)$ [/mm] ?
Dann solltest Du mal zunächst untersuchen, ob die zu addierende Folge [mm] $1-\bruch{1}{n}$ [/mm] auch eine Nullfolge ist, was ja bekanntermaßen das notwendige Kriterium ist für die Reihenkonvergenz.
Und ...? 
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 27.10.2006 | | Autor: | elfi123 |
Hallo,
ja,die Reihe lautet so wie du es geschrieben hast.
Die Folge geht doch gegen 1.
Aber ich weiß jetzt nicht was ich da machen soll. Irgendwie habe ich bei dieser Aufgabe ein Brett vor dem Kopf 
Danke für die schnelle Reaktion
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Hallo,
du kannst doch mit deiner Reihe so etwas hier machen
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(1-\bruch{1}{n})=\summe_{i=1}^{\infty}1-\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n}.
[/mm]
Und was folgt daraus...?
Der zweite Summand ist die harmonische Reihe und bekanntermaßen divergent.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 Fr 27.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Na, na. So etwas kann man m.W. nur machen, wenn beide
Summen *konergent* sind. Sie sind aber beide *divergent*.
Oder irre ich mich?
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Hallo,
ich hatte mich da auf diesen ![[]](/images/popup.gif) Link berufen. Mir kam das auch etwas spanisch vor, aber da steht nichts von Konvergenz oder? Ich hätte vielleicht doch noch mal woanders nachlesen sollen.
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Sa 28.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Hallo Daniel,
der Link behandelt *endliche* Summen, die Frage bezog sich
aber auf eine unendliche Summe. Wie dem auch sei, ich denke
das Problem ist inzwischen geloest.
Schoenen Tag.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:30 Fr 27.10.2006 | | Autor: | luis52 |
Es stimmt, die Folge der Reihensummanden konvergiert gegen 1, und zwar
monoton steigend. Ab $n=2$ gilt $1-1/n [mm] \ge [/mm] 1/2$. Also gilt
[mm] $\sum_{n=1}^{m+1}(1-1/n)\ge m/2\to\infty$ [/mm] fuer [mm] $m\to\infty$.
[/mm]
hth
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Fr 27.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo elfi!
> Die Folge geht doch gegen 1.
Also folgt daraus unmittelbar die Divergenz der Reihe, da der entsprechende Grenzwert [mm] $\not= [/mm] \ 0$ ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Sa 28.10.2006 | | Autor: | elfi123 |
Hallo Loddar,
die not. Bedingung ist: Die Reihe ist konvergent, wenn lim an = 0 ist.
Die Schlussfolgerung: die Reihe ist nicht konvergent, wenn lim an ungleich 0 ist.
Und das kann man einfach so machen??
Schöne Grüße und Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 28.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo elfi!
> die not. Bedingung ist: Die Reihe ist konvergent, wenn lim an = 0 ist.
Das stimmt so nicht. Damit die Reihe konvergiert, muss [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge sein!
> Die Schlussfolgerung: die Reihe ist nicht konvergent, wenn
> lim an ungleich 0 ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Korrekt!
> Und das kann man einfach so machen??
Jo!
Gruß
Loddar
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