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Forum "Folgen und Reihen" - Konvergenz des von log
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Konvergenz des von log: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:54 Do 16.06.2011
Autor: Sin777

Aufgabe
z.z.: [mm] log(x_{n}) \to [/mm] log(x) für
[mm] x_{n},x \in \IR, [/mm]
x, [mm] x_{n} [/mm] > 0 und
[mm] x_{n} \to [/mm] x für n [mm] \to \infty [/mm]

Ich sitze jetzt schon seit ewigkeiten vor der Aufgabe, komme aber einfach nicht weiter. Hat jemand einen Hineweis für mich? :(

        
Bezug
Konvergenz des von log: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:08 Do 16.06.2011
Autor: leduart

Hallo
du weißt: es existier zu jedem [mm] \varepsilon_1 [/mm] ein N so dass gilt [mm] |x-x_n|<\varepsilon_1 [/mm]
für alle n>N
du musst zeigen [mm] |\log(x)-\log(x_n)|<\varepsilon [/mm]
jetzt benutze für [mm] \log(x)-\log(x_n) [/mm] die log Gesetze und [mm] \log(1+a) Gruss leduart


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Konvergenz des von log: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Do 16.06.2011
Autor: Sin777

Ich tue mir noch sehr schwer mit der Epsilon-Notation. Stimmt denn Folgendes:

Ann.: [mm] log(x_{n}) \to [/mm] log(x). Sei dazu [mm] \epsilon [/mm] > 0. Wähle [mm] N(\epsilon) [/mm] so, dass [mm] |x-x_{n}| [/mm] < [mm] \epsilon [/mm]  für alle n > [mm] N(\epsilon) [/mm]
n > [mm] N(\epsilon) \Rightarrow |log(x)-log(x_{n})|=log(\bruch{x}{x_{n}}) [/mm]

Wie mache ich nun weiter?

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Konvergenz des von log: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:13 Do 16.06.2011
Autor: fred97


> Ich tue mir noch sehr schwer mit der Epsilon-Notation.
> Stimmt denn Folgendes:
>  
> Ann.: [mm]log(x_{n}) \to[/mm] log(x).

?????????????????   Das sollst Du doch zeigen !!

> Sei dazu [mm]\epsilon[/mm] > 0. Wähle
> [mm]N(\epsilon)[/mm] so, dass [mm]|x-x_{n}|[/mm] < [mm]\epsilon[/mm]  für alle n >
> [mm]N(\epsilon)[/mm]
>  n > [mm]N(\epsilon) \Rightarrow |log(x)-log(x_{n})|=log(\bruch{x}{x_{n}})[/mm]

Das stimmt so nicht.

Es gilt:

           $ [mm] |log(x)-log(x_{n})|=|log(\bruch{x}{x_{n}})|$ [/mm]

Es ist schwer , Dir zu helfen, denn es ist nicht bekannt, was Ihr benutzen dürft und könnt.

Erzähl mal.

FRED

>  
> Wie mache ich nun weiter?


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Konvergenz des von log: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:09 Do 16.06.2011
Autor: Sin777

Ich bin mit dieser Aufgabe leider immer noch nicht weitergekommen... wie kann ich den beweis mittels epsilon-kriterium denn machen=?

Bezug
                                        
Bezug
Konvergenz des von log: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:19 Do 16.06.2011
Autor: leduart

Hallo
a) warum folgst du freds aufforderun nicht?
b) wie groß kann denn [mm] x_n/x [/mm] werden wenn [mm] |x_n-x|<\epsilon? [/mm]
Gruss leduart


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Konvergenz des von log: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:26 Do 16.06.2011
Autor: Sin777

Wir dürfen bspsw. das Quotientenkriterium, das Wurzelkriterium, den Verdichtungssatz verweden. Was speziell braucht man denn? [mm] x/x_{n} [/mm] ist immer größer als 1, also ist [mm] log(x/x_{n}) [/mm] > 0.

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Konvergenz des von log: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:31 Do 16.06.2011
Autor: leduart

Hallo
alles was du angeführt hast, hat nichts mit stetigkeit, sondern mit Konvergenz von summen zu tun!
Was weisst du über log? Reihe? usw?
und [mm] x/x_n>1 [/mm] ist falsch . zwischen welchen Werten liegt x wenn gilt [mm] |x-x_n/<\epsilon? [/mm]
Gruss leduart


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Konvergenz des von log: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:53 Fr 17.06.2011
Autor: Sin777

Ich kenne die Logarithmusgesetze.
x liegt im Intervall [mm] [0;\epsilon) [/mm]

Bezug
                                                                        
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Konvergenz des von log: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:00 Fr 17.06.2011
Autor: schachuzipus

Hallo Sin777,


> Ich kenne die Logarithmusgesetze.
> x liegt im Intervall [mm][0;\epsilon)[/mm]  

Nein, wie kommst du darauf?

Rate mal mit Rosenthal?

Entweder löse [mm]|x-x_n|<\varepsilon[/mm] formal nach [mm]x[/mm] auf oder überlege am Zahlenstrahl, was [mm]|x-x_n|<\varepsilon[/mm] bedeutet.

Ich sag's mal in Worten: [mm]x[/mm] liegt näher an [mm]x_n[/mm] als [mm]\varepsilon[/mm]

Nun?

Gruß

schachuzipus


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