Konvergenz einer 3. Wurzel < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Lover |
| Aufgabe | | Wogegen konvergiert die Folge [mm] a_n = \sqrt[3]{n^3 + 4n^2 -1} -n [/mm] für [mm] n \rightarrow \infty [/mm] ? |
Hallo Leute.
Dies ist mein erstes Posting, doch gleiche habe ich ein Problem mit der Konvergenz og. Folge. Warum geht diese gegen [mm] \frac{4}{3} [/mm]?
Es hat etwas mit dem Koeffizienten vor dem [mm]n^2[/mm] zu tun, wie mir Maple verraten hat (also die 4 jedenfalls, und die 3 kommt bestimmt irgendwie aus der 3. Wurzel oder so). Aber weder erweitern mit [mm](n^3 + 4n^2 -1)^{\frac{2}{3}} + n[/mm] noch erweitern mit [mm]\sqrt[3]{n^3 + 4n^2 -1} + n[/mm] - wie man es bei Quadratwurzeln wohl lösen würde - halfen mir weiter. Ich habe echt leider keine Ahnung und es wäre nett, wenn man mir einen Denkanstoß geben könnte. Danke im Voraus.
Gruß,
Lover
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:53 Fr 18.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Wogegen konvergiert die Folge [mm]a_n = \sqrt[3]{n^3 + 4n^2 -1} -n[/mm]
> für [mm]n \rightarrow \infty[/mm] ?
> Hallo Leute.
>
> Dies ist mein erstes Posting, doch gleiche habe ich ein
> Problem mit der Konvergenz og. Folge. Warum geht diese
> gegen [mm]\frac{4}{3} [/mm]?
>
> Es hat etwas mit dem Koeffizienten vor dem [mm]n^2[/mm] zu tun, wie
> mir Maple verraten hat (also die 4 jedenfalls, und die 3
> kommt bestimmt irgendwie aus der 3. Wurzel oder so). Aber
> weder erweitern mit [mm](n^3 + 4n^2 -1)^{\frac{2}{3}} + n[/mm] noch
> erweitern mit [mm]\sqrt[3]{n^3 + 4n^2 -1} + n[/mm] - wie man es bei
> Quadratwurzeln wohl lösen würde - halfen mir weiter. Ich
> habe echt leider keine Ahnung und es wäre nett, wenn man
> mir einen Denkanstoß geben könnte. Danke im Voraus.
Hallo,
es gilt [mm] (n+\bruch{4}{3})^3=n^3+4n^2+\bruch{16}{3}n+\bruch{64}{27} [/mm] und damit
[mm] \sqrt[3]{n^3+4n^2+\bruch{16}{3}n+\bruch{64}{27}} -n=n+\bruch{4}{3}-n=\bruch{4}{3}.
[/mm]
Nun musst du "nur" noch zeigen, dass der Unterschied zwischen
[mm] \sqrt[3]{n^3+4n^2+\bruch{16}{3}n+\bruch{64}{27}} [/mm] und [mm] \sqrt[3]{n^3 + 4n^2 -1} [/mm] für große n gegen Null geht.
Gruß Abakus
>
> Gruß,
> Lover
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:00 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Lover |
Naja, das erscheint mir zwar halbwegs einleuchtend, aber normalerweise kenne ich den Grenzwert ja nicht, was mein eigentliches Problem ist. Die Aufgabe beinhaltete diesen ja nicht, evtl. hätte ich mich da deutlicher ausdrücken sollen, denn zeigen, dass die Folge gegen den Wert geht, kann man ja auch durch finden eines entsprechenden [mm] n [/mm] und dem [mm] \varepsilon [/mm]-Konvergenzkriterium (ob ich das nun schaffen würde, ist eine andere Frage, da ist dein Weg vielleicht auch einfacher, aber ich probiere es mal). Die Frage wie man den Wert überhaupt findet, bleibt allerdings (für mich jedenfalls).
Gruß,
Lover
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> Naja, das erscheint mir zwar halbwegs einleuchtend, aber
> normalerweise kenne ich den Grenzwert ja nicht, was mein
> eigentliches Problem ist. Die Aufgabe beinhaltete diesen ja
> nicht, evtl. hätte ich mich da deutlicher ausdrücken
> sollen, denn zeigen, dass die Folge gegen den Wert geht,
> kann man ja auch durch finden eines entsprechenden [mm]n[/mm] und
> dem [mm]\varepsilon [/mm]-Konvergenzkriterium (ob ich das nun
> schaffen würde, ist eine andere Frage, da ist dein Weg
> vielleicht auch einfacher, aber ich probiere es mal). Die
> Frage wie man den Wert überhaupt findet, bleibt allerdings
> (für mich jedenfalls).
>
> Gruß,
> Lover
Hallo,
grundsätzlich würde ich für die vorliegende Aufgabe
auch den Weg vorschlagen, den Fred erläutert hat.
Die Faktorisierungsformel
[mm] a^n-b^n=(a-b)*(a^{n-1}+a^{n-2}b+......+b^{n-1})
[/mm]
ist recht oft nützlich.
Um einen Grenzwert aufzuspüren, wäre es aber
auch möglich, mit dem Rechner ein paar Folgen-
glieder wie etwa $\ [mm] a_{1000},a_{100000}$ [/mm] zu berechnen
und daraus eine Vermutung über den wahren
Grenzwert abzuleiten. Damit kann man dann
den Epsilon-Beweis ansetzen.
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Fr 18.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] $a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)$
[/mm]
Also
$a-b= [mm] \bruch{a^3-b^3}{a^2+ab+b^2}$
[/mm]
Setze $a = [mm] \sqrt[3]{n^3 + 4n^2 -1}$ [/mm] und $b=n$
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Fr 18.09.2009 | | Autor: | Lover |
Danke für eure schnellen Antworten, der Ansatz von Fred hat mir weitergeholfen und ich kam zum gewünschten Ergebnis. Al-Chwarizmi hat natürlich auch Recht mit seiner Aussage, nur darf man das in einer Klausur ja (leider) nicht. Aber da mir jetzt geholfen wurde, bin ich natürlich glücklich, also danke nochmal an alle Helfer!
Gruß,
Lover
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> Danke für eure schnellen Antworten, der Ansatz von Fred
> hat mir weitergeholfen und ich kam zum gewünschten
> Ergebnis. Al-Chwarizmi hat natürlich auch Recht mit seiner
> Aussage, nur darf man das in einer Klausur ja (leider)
> nicht.
Ich verstehe nicht recht, was man nicht dürfen soll.
Einen Grenzwert zuerst "experimentell" aufzuspüren
und dann mittels Epsilon-Beweis zu zeigen, dass er
hieb- und stichfest ist, sollte meiner Ansicht nach
durchaus erlaubt sein.
(beim vorliegenden Bsp. würde man aber für den
[mm] \varepsilon [/mm] - Beweis wohl viel zu viel Zeit brauchen)
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Fr 18.09.2009 | | Autor: | abakus |
> > Danke für eure schnellen Antworten, der Ansatz von Fred
> > hat mir weitergeholfen und ich kam zum gewünschten
> > Ergebnis. Al-Chwarizmi hat natürlich auch Recht mit seiner
> > Aussage, nur darf man das in einer Klausur ja (leider)
> > nicht.
>
>
> Ich verstehe nicht recht, was man nicht dürfen soll.
> Einen Grenzwert zuerst "experimentell" aufzuspüren
> und dann mittels Epsilon-Beweis zu zeigen, dass er
> hieb- und stichfest ist, sollte meiner Ansicht nach
> durchaus erlaubt sein.
Hallo,
das "nicht dürfen" bezieht sich sicher auf die Situation einer hilfsmittelfreien Klausur ohne Taschenrechner.
Gruß Abakus.
>
> (beim vorliegenden Bsp. würde man aber für den
> [mm]\varepsilon[/mm] - Beweis wohl viel zu viel Zeit brauchen)
>
> LG Al-Chw.
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