Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi habe ein Problem mit folgender Aufgabe
Konvergiert die Folge [mm] (a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n) [/mm] so konvergiert auch die Folge [mm] (\frac{a_n}{n})
[/mm]
Leider weiss ich nicht mal wie ich genau anfangen soll, kann mir vllt jemand einen Tipp geben
vg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:06 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi habe ein Problem mit folgender Aufgabe
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> Konvergiert die Folge [mm](a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n)[/mm] so konvergiert auch
> die Folge [mm](\frac{a_n}{n})[/mm]
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> Leider weiss ich nicht mal wie ich genau anfangen soll,
> kann mir vllt jemand einen Tipp geben
Setze [mm] c_n:=a_{n+1}-a_n. [/mm] Nun sei [mm] c:=\limes_{n\rightarrow\infty}c_n.
[/mm]
Nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz (http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchyscher_Grenzwertsatz) gilt:
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c_i \to [/mm] c$
Berechne mal [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c_i.
[/mm]
FRED
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> vg
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Also so ganz kapier ich das leider nicht,
wenn ich jetzt für $ [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c_i. [/mm] $
einfach die Defintion von dir einsetze dann erhalte ich ja:
$ [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a_{i+1}-a_i). [/mm] $
aber jetzt weiss ich wieder nicht weiter :(
ok ne wenn ich die Summe berechne sollte
$ [mm] \frac{1}{n}(a_{n+1} [/mm] - [mm] a_1) [/mm] $
rauskommen, richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also so ganz kapier ich das leider nicht,
>
> wenn ich jetzt für [mm]\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n c_i.[/mm]
>
> einfach die Defintion von dir einsetze dann erhalte ich
> ja:
>
> [mm]\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (a_{i+1}-a_i).[/mm]
>
> aber jetzt weiss ich wieder nicht weiter :(
>
> ok ne wenn ich die Summe berechne sollte
>
> [mm]\frac{1}{n}(a_{n+1} - a_1)[/mm]
>
> rauskommen, richtig?
Ja. und was macht die Folge [mm](\frac{1}{n}(a_{n+1} - a_1))[/mm]
nach dem Cauchyschen Grenzwertsatz ?
FRED
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Naja diese konvergiert gegen wieder gegen den gleichen Grenzwert.
aber wie komm ich jetzt darauf dass die Folge [mm] \frac{a_n}{n} [/mm] auch gegen den Grenzwert konvergiert.
Wenn a der Grenzwert ist dann hab ich jetzt das:
| [mm] \frac{1}{n}(a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n) [/mm] - a | < [mm] \epsilon [/mm] fuer [mm] \epsilon [/mm] > 0
edit: i
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Mo 08.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Naja diese konvergiert gegen wieder gegen den gleichen
> Grenzwert.
>
> aber wie komm ich jetzt darauf dass die Folge [mm]\frac{a_n}{n}[/mm]
> auch gegen den Grenzwert konvergiert.
>
> Wenn a der Grenzwert ist dann hab ich jetzt das:
Den Grenzwert habe ich oben c genannt !
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> | [mm]\frac{1}{n}(a_{n+1}[/mm] - [mm]a_n)[/mm] - a | < [mm]\epsilon[/mm] fuer [mm]\epsilon[/mm]
> > 0
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> edit: i
Wegen [mm] \bruch{a_1}{n} \to [/mm] 0 folgt
[mm] \bruch{a_{n+1}}{n} \to [/mm] c
und damit
[mm] \bruch{a_{n+1}}{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{a_{n+1}}{n} [/mm] * [mm] \bruch{n}{n+1} \to [/mm] c.
Fazit:
[mm] \bruch{a_{n}}{n} \to [/mm] c.
FRED
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