Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 So 11.10.2015 | | Autor: | X3nion |
| Aufgabe | | Man beweise: Falls [mm] (a_{n}) [/mm] eine nach oben beschränkte Folge ist und erst ab einem Index [mm] n_{0} [/mm] monoton wächst, also es gibt mindestens ein m < [mm] n_{0} [/mm] sodass [mm] b_{m+1} [/mm] < [mm] b_{m}, [/mm] dann konvergiert die Folge. |
Einen schönen Sonntag an euch, liebe Community!
Ich stehe bei folgender Fragestellung auf dem Schlauch und würde mich über Ratschläge von euch freuen! :)
Vorgehen würde ich wie folgt: ich weiß ja auf jeden fall, dass die Folge [mm] (a_{n+n_{0}}) [/mm] konvergent ist, da diese nach oben beschränkt und monoton wachsend ist. Somit gibt es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] n_{1}(\varepsilon), [/mm] sodass für alle n [mm] \ge n_{1}(\varepsilon) [/mm] gilt, dass [mm] |a_{n+n_{0}} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Allerdings weiß ich nun nicht, wie ich weiter vorgehen soll. Zeigen soll ich ja im Endeffekt folgendes: Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0 gibt es ein [mm] n_{2}(\varepsilon), [/mm] sodass für alle n [mm] \ge n_{2}(\varepsilon) [/mm] gilt, dass [mm] |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Ich denke, man muss auf jeden Fall die [mm] n(\varepsilon) [/mm] Variablen unterscheiden muss, da ich ja zwei verschiedene Folgen betrachte.
Könnt ihr mir weiterhelfen? Ich würde mich sehr freuen!
Viele Grüße,
Chris
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Hallo Chris
> Man beweise: Falls [mm](a_{n})[/mm] eine nach oben beschränkte
> Folge ist und erst ab einem Index [mm]n_{0}[/mm] monoton wächst,
> also es gibt mindestens ein m < [mm]n_{0}[/mm] sodass [mm]b_{m+1}[/mm] <
> [mm]b_{m},[/mm] dann konvergiert die Folge.
> Einen schönen Sonntag an euch, liebe Community!
>
>
> Vorgehen würde ich wie folgt: ich weiß ja auf jeden fall,
> dass die Folge [mm](a_{n+n_{0}})[/mm] konvergent ist, da diese nach
> oben beschränkt und monoton wachsend ist. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Sorry, aber ich denke, dass du die Frage nicht ganz richtig
verstanden hast. Es wird ja eben gerade nicht vorausgesetzt,
dass die Folge (insgesamt) monoton wachsend sei !
Mein Tipp:
unterteile die Folge erst mal in ein (endliches, aber
nicht notwendigerweise monotones) Anfangsstück und
in einen (unendlich langen, monoton steigenden)
"Schwanz" !
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:58 So 11.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hmm ich meinte ja die Folge [mm] (a_{n+n_{0}}). [/mm] Ich dachte diese ist doch definitiv monoton wachsend, da ich ja erst ab [mm] n_{0} [/mm] zähle!
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Sorry, da hatte ich nicht genau gelesen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:28 So 11.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Kein Problem! Ich hatte mich nur gewundert :)
Vielen dank dir für den Input, das macht Sinn und daran habe ich auch schon gedacht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 So 11.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Man beweise: Falls [mm](a_{n})[/mm] eine nach oben beschränkte
> Folge ist und erst ab einem Index [mm]n_{0}[/mm] monoton wächst,
> also es gibt mindestens ein m < [mm]n_{0}[/mm] sodass [mm]b_{m+1}[/mm] <
> [mm]b_{m},[/mm]
Das verstehe ich nicht ! Soll es [mm] m>n_0 [/mm] lauten ? Was ist [mm] b_m [/mm] ???
> dann konvergiert die Folge.
> Einen schönen Sonntag an euch, liebe Community!
>
> Ich stehe bei folgender Fragestellung auf dem Schlauch und
> würde mich über Ratschläge von euch freuen! :)
>
> Vorgehen würde ich wie folgt: ich weiß ja auf jeden fall,
> dass die Folge [mm](a_{n+n_{0}})[/mm] konvergent ist, da diese nach
> oben beschränkt und monoton wachsend ist. Somit gibt es zu
> jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]n_{1}(\varepsilon),[/mm] sodass für
> alle n [mm]\ge n_{1}(\varepsilon)[/mm] gilt, dass [mm]|a_{n+n_{0}}[/mm] - a|
> < [mm]\varepsilon.[/mm]
>
> Allerdings weiß ich nun nicht, wie ich weiter vorgehen
> soll. Zeigen soll ich ja im Endeffekt folgendes: Für jedes
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm]n_{2}(\varepsilon),[/mm] sodass für
> alle n [mm]\ge n_{2}(\varepsilon)[/mm] gilt, dass [mm]|a_{n}[/mm] - a| <
> [mm]\varepsilon.[/mm]
> Ich denke, man muss auf jeden Fall die [mm]n(\varepsilon)[/mm]
> Variablen unterscheiden muss, da ich ja zwei verschiedene
> Folgen betrachte.
>
>
> Könnt ihr mir weiterhelfen? Ich würde mich sehr freuen!
Setzt man [mm] c_n:=a_{n+n_0} [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 0, so hat man, das hattest Du richtig:
[mm] (c_n) [/mm] ist konvergent.
Sei a der Limes von [mm] (c_n). [/mm] Zu $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gibt es also ein $ [mm] n_1=n_{1}(\varepsilon) \in \IN [/mm] $ mit
[mm] |c_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_1.
[/mm]
Setze nun [mm] n_2:=n_2(\varepsilon):=n_1+n_0 [/mm] und überzeuge Dich von
[mm] |a_j-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] j>n_2.
[/mm]
Damit haben wir: zu jedem $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gibt es also ein $ [mm] n_2=n_{2}(\varepsilon) \in \IN [/mm] $ mit:
[mm] |a_j-a| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle [mm] j>n_2.
[/mm]
Damit konvergiert die Folge (an) gegen a.
FRED
>
> Viele Grüße,
> Chris
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 11.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo FRED,
vielen Dank für deine Antwort!
Hmm ich denke es ist so gemeint:
es gilt [mm] b_{n+1} \ge b_{n} \forall [/mm] n [mm] \ge n_{0}, [/mm] aber [mm] \exists [/mm] m < [mm] n_{0}, [/mm] sodass [mm] b_{b+1} [/mm] < [mm] b_{m}. [/mm] Also quasi, dass die Eigenschaft des monotonen Wachstums für mindestens ein m < [mm] n_{0} [/mm] verletzt ist.
Eine neue Wahl für [mm] n_{2}(\varepsilon) [/mm] habe ich mir eben auch überlegt und bin darauf gekommen. [mm] n_{2}(\varepsilon): [/mm] = [mm] max(n_{0}, n_{1}(\varepsilon).
[/mm]
Denn ich dachte, somit würde n [mm] \ge n_{2}(\varepsilon) [/mm] bedeuten n [mm] \ge n_{0} [/mm] und n [mm] \ge n_{1}(\varepsilon) [/mm] und ich würde das Problem somit quasi auf die Konvergenz der Folge [mm] a_{n+n_{0}} [/mm] zurückführen.
Wieso muss ich [mm] n_{1} [/mm] und [mm] n_{0} [/mm] addieren?
Viele Grüße,
Christian
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Mo 12.10.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> Hmm ich denke es ist so gemeint:
> es gilt [mm]b_{n+1} \ge b_{n} \forall[/mm] n [mm]\ge n_{0},[/mm] aber
> [mm]\exists[/mm] m < [mm]n_{0},[/mm] sodass [mm]b_{b+1}[/mm] < [mm]b_{m}.[/mm] Also quasi, dass
> die Eigenschaft des monotonen Wachstums für mindestens ein
> m < [mm]n_{0}[/mm] verletzt ist.
So so. Ich bin immer noch nicht im Bilde, was die [mm] b_n [/mm] sind. ! Gilt [mm] b_n=a_n [/mm] ?
>
> Eine neue Wahl für [mm]n_{2}(\varepsilon)[/mm] habe ich mir eben
> auch überlegt und bin darauf gekommen. [mm]n_{2}(\varepsilon):[/mm]
> = [mm]max(n_{0}, n_{1}(\varepsilon).[/mm]
> Denn ich dachte, somit
> würde n [mm]\ge n_{2}(\varepsilon)[/mm] bedeuten n [mm]\ge n_{0}[/mm] und n
> [mm]\ge n_{1}(\varepsilon)[/mm] und ich würde das Problem somit
> quasi auf die Konvergenz der Folge [mm]a_{n+n_{0}}[/mm]
> zurückführen.
> Wieso muss ich [mm]n_{1}[/mm] und [mm]n_{0}[/mm] addieren?
Wir haben:
zu $ [mm] \varepsilon [/mm] $ > 0 gibt es ein $ [mm] n_1=n_{1}(\varepsilon) \in \IN [/mm] $ mit
$ [mm] |c_n-a| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ [mm] n>n_1, [/mm] $
also mit
$ [mm] |a_{n+n_0}-a| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ für alle $ [mm] n>n_1. [/mm] $
Nun gilt:
[mm] $n>n_1$ \gdw $n+n_0>n_1+n_0$.
[/mm]
Jetzt klar ?
FRED
>
> Viele Grüße,
> Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 Fr 23.10.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo fred,
sorry für die späte Rückmeldung. Ja es gilt [mm] b_{n} [/mm] = [mm] a_{n}, [/mm] ich hatte mich verschrieben! :(
Den Beweis habe ich nun vollziehen können, vielen Dank!
Viele Grüße,
Christian
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