Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie ob die durch
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] definierte Folge (!) [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] konvergiert |
Wie fängt man da denn an wenn die Folge durch eine Summe gegeben ist? Mir fehlt absolut der Ansatz! Wär super wenn ihr mit einen Tipp geben könntet!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Räubertochter!
Die Summe macht hier ja nicht den großen Unterschied. Du kannst das auch ausgeschrieben formulieren:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{k} [/mm] \ =\ [mm] \bruch{1}{n}+\bruch{1}{n+1}+...+\bruch{1}{2n}$
[/mm]
Also:
[mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1}+\bruch{1}{2} [/mm] \ = \ \ [mm] \bruch{3}{2}$
[/mm]
[mm] $a_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ \ [mm] \bruch{13}{12}$
[/mm]
usw.
Für die Konvergenz würde ich hier zeigen, dass diese Folge sowohl monoton (fallend) als auch nach unten beschränkt ist (z.B. mittels vollständiger Induktion). Daraus folgt unmittelbar die Konvergenz.
Gruß
Loddar
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ah vielen dank! dann muss ich mich wohl wieder mit vollständiger induktion rumärgern :) das soll mal einer verstehen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
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... so ist das in der Mathematik. Da holen einen die alten Dinge und Methoden immer wieder ein. 
Gruß
Loddar
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aber wie rechnet man denn da die folgeglieder genau aus also wie kommst du auf [mm] \bruch{12}{13} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Räubertochter!
Das ist reine Bruchrechnung:
$ [mm] a_2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6}{12}+\bruch{4}{12}+\bruch{3}{12} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6+4+3}{12} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{13}{12} [/mm] $
Gruß
Loddar
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aber wie kommt man auf [mm] \bruch{1}{2} +\bruch{1}{3}+ \bruch{1}{4} [/mm] muss man nicht einfach nur für n 2 einsetzen dann hätte man doch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mi 06.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Räubertochter!
Das Summenzeichen gibt ja an, dass Du zwischen den beiden Werte $n \ = \ 2$ und $2*n \ = \ 2*2 \ = \ 4$ alle natürlichen Zahlen einsetzen musst; also auch die $3_$ .
Es wird ja aufsummiert für die Zählvariable $k_$ von $2_$ bis $4_$ .
Gruß
Loddar
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ach so ja sicher!! brett vorm kopf :) und dann beweise ich mit der vollstänigen Induktion die beschränktheit nach unten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Mi 06.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> ach so ja sicher!! brett vorm kopf :) und dann beweise ich
> mit der vollstänigen Induktion die beschränktheit nach
> unten?
Ich hoffe nicht, das du dafür Induktion brauchst ... eher für die Monotonie.
SEcki
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leider noch mal diese aufgabe nachdem ich auch mal versucht hab das auszurechnen ;) also die monotonie hab ich bewiesen über [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} \le0 [/mm] und wenn man das dann alles umformt hat man man irgendwann -3n -2 [mm] \le0 [/mm] und das ist ja eine wahre aussage, da braucht man ja keine vollständige induktion für aber welche vorraussetzung hab ich jetzt für die beschränkheit nach unten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 13.12.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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