Konvergenz einer Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Mi 24.11.2004 | | Autor: | Tyvan |
Hallo Leute,
ich habe bisher immer Probleme gehabt eine "einfache" gegebene Folge auf Konvergenz zu untersuchen. Vor allem bei rekursive Folgen hatte ich immer Probleme. Ich kenne den Ansatz noch aber hänge trotzdem daran.
Also erst mal eine nicht-rekursive Folge:
Die Konvergenz soll untersucht werden:
(1) [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] mit [mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^{k}}{2^{n}}
[/mm]
Jetzt anhand vollständiger Induktion zeigen:
(2) [mm] n^{2} \le 2^{n}
[/mm]
Und jetzt mit einer rekursiven Folge die Konvergenz und evtl. Grenzwert zeigen:
(3) [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] 2a_{n} [/mm] - [mm] \bruch{a_{n}^{2}}{4}
[/mm]
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Zu (1): Reicht es wenn ich zum Nenner etwas finde, so das ich eine Ungleichung aufstellen kann, um dann am Ende eine Schranke für den Bruch von [mm] a_{n} [/mm] aus (1) zu haben? Eine Schranke wäre ja z.B. etwas bekanntes. Aus einer anderen Aufgabe weiss ich noch das ich dann [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] also die harmonische Reihe gefunden hatte und diese als Schranke benutzen durfte. Aber das ging nur weil ich im Zähler eine 1 hatte. Hier bei (1) ist das ja anders. Welchen Weg kann ich da gehen?
Zu (2): Bei (2) gilt doch auch das gleiche oder? Etwas finden um eine Ungleichung zu stellen so das die obige Ungleichung aus (2) "trivialer" wird. Daher verstehe ich nicht was genau daran eine vollständige Induktion sein soll.
Zu (3): Auch hier müsste ich eine Ungleichung in der Form: [mm] a_{n} \le a_{n+1} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n} \le0 [/mm] rauskriegen oder? Ich krieg das nie hin, oder genauer gesagt weiss ich nicht wann das als "gezeigt" gewertet werden kann.
Ihr müsst mir keine Lösung hinmachen, wenn mir mal einer einen guten Ansatz geben könnte so das ich das selbst machen könnte, wäre ich dankbar. 
Und überhaupt, stimmt das was ich bezüglich zu den 3 Aufgaben geschrieben habe?
Danke im voraus
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zu 1) Also ne vernünftige Abschätzung fällt mir dabei nicht ein; du redest von der harmonischen Reihe: vorsicht! Hier geht's nicht um ne Reihe, sondern um ne Folge!
Versuch mal rauszufinden, ob Nenner oder Zähler schneller gegen [mm]\infty[/mm] geht. Und ich nehme an, das k ist nicht beliebig.
Tip: schon mal was von der Regel von l'Hôpital gehört? Damit kannst du zeigen, dass der Nenner schneller gegen [mm]\infty[/mm] geht, als der Zähler.
zu 2) Wenn schon dasteht, dass eine Vollst. Ind. gewünscht ist, dann würd ich sie auch durchziehen. Also dann mal los mit Ind.anfang, Ind.voraussetzung und Ind.schluß. Wir helfen schon weiter, wenn's irgendwo klemmt.
zu 3) Ist hier kein Startwert gegeben? Also bei rekursiven Folgen funktioniert manchmal folgender Trick: man behauptet, es existiert ein Grenzwert. Und wenn, dann nennen wir ihn a: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{a_n}=a[/mm]
Und jetzt der Trick: wir betrachten den Fall "[mm]n=\infty[/mm]", d.h. sowohl für [mm]a_{n+1}[/mm], als auch für [mm]a_n[/mm] setzen wir das a ein, und lösen die Gleichung [mm]\to[/mm] bestimmen alle möglichen Kandidaten für einen Grenzwert dieser rekursiven Folge. Ich habe 2 mögliche Grenzwerte erhalten. Wenn man einen Startwert gegeben hat, dann kann man danach evtl. einen (oder beide) dieser Grenzwerte ausschließen. Wie gesagt: mit diesem Trick erhält man Kandidaten für den Grenzwert.
So, nu mal viel Spaß beim Rumprobieren!
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