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Hallo. habe eine Folge [mm] (x_n) [/mm] mit der Eigenschaft:
[mm] x_{n+1} \le x_n^2 \le x_{n-1}, [/mm] die ich auf Konvergenz untersuchen will.
So erstmal habe ich mit Induktion über n gezeigt, dass die Folge monoton fallend ist. Des Weiteren ist die Folge ja auch beschränkt, wie man leicht aus der Eigenschaft heraus erkennt, und zwar nach unten durch 0, da ja [mm] x^2 [/mm] immer positiv ist. Als monotone und beschränkte folge, ist die folge ja konvergent.
So ich habe aber scwierigkeiten mit dem Grenzwert, denn dort bekomme ich irgendwie zwei heraus, und ich weiß nicht, welcher richtig ist. Beide können es ja nicht sein,denn der Grenzwert einer Folge ist ja eindeutig bestimmt.
kriege 1 und 0 heraus.
Welcher ist denn nun der Grenzwert und warum?
danke für hilfe.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:03 Do 17.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo. habe eine Folge [mm](x_n)[/mm] mit der Eigenschaft:
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> [mm]x_{n+1} \le x_n^2 \le x_{n-1},[/mm] die ich auf Konvergenz
> untersuchen will.
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> So erstmal habe ich mit Induktion über n gezeigt, dass die
> Folge monoton fallend ist. Des Weiteren ist die Folge ja
> auch beschränkt, wie man leicht aus der Eigenschaft heraus
> erkennt, und zwar nach unten durch 0, da ja [mm]x^2[/mm] immer
> positiv ist. Als monotone und beschränkte folge, ist die
> folge ja konvergent.
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> So ich habe aber scwierigkeiten mit dem Grenzwert, denn
> dort bekomme ich irgendwie zwei heraus, und ich weiß nicht,
> welcher richtig ist. Beide können es ja nicht sein,denn der
> Grenzwert einer Folge ist ja eindeutig bestimmt.
>
> kriege 1 und 0 heraus.
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> Welcher ist denn nun der Grenzwert und warum?
Das ist ohne Kenntnis deiner Lösung schwer zu sagen. Ich sehe aber eine kritische Stelle.
Aus [mm]x_{n+1} \le x_n^2 \le x_{n-1},[/mm] folgt nicht zwangsläufig
[mm]x_{n+1} \le x_n \le x_{n-1},[/mm] .
Ich hoffe, du hast auch beachtet, dass
[mm] x
Viele Grüße
Abakus
>
> danke für hilfe.
>
> gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Do 17.04.2008 | | Autor: | pelzig |
Die konstanten Folgen [mm] $a_n=0$ [/mm] und [mm] $b_n=1$ [/mm] erfüllen beide die Bedingung, also gibt es keinen eindeutigen Grenzwert.
Dass es keinen anderen Grenzwert geben kann, kann man durch Widerspruch aus der Grenzwert Defintion zeigen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Do 17.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Die konstanten Folgen [mm]a_n=0[/mm] und [mm]b_n=1[/mm] erfüllen beide die
> Bedingung, also gibt es keinen eindeutigen Grenzwert.
> Dass es keinen anderen Grenzwert geben kann, kann man
> durch Widerspruch aus der Grenzwert Defintion zeigen.
Zu jedem beliebigen Startwert [mm] a_1 [/mm] GIBT es aber einen eindeutigen Grenzwert.
Für Startwerte [mm] \ge [/mm] 1 ist das die 1, für Startwerte zwischen 1 und 0 ist das die Null.
Gruß Abakus
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hi, danke erstmal.
auf die frage, wie ich auf das ergebnis komme. also ich habe einfach den grenzwertübergang betrachtet, also von [mm] x_{n+1} \le x_n^2 \le x_{n-1} [/mm] komme ich dann auf [mm] x_{n} \le x_n^2 \le x_{n}. [/mm] so dann habe ich folgendes betrachtet:
[mm] x_{n} \le x_n^2
[/mm]
[mm] x_{n} [/mm] - [mm] x_n^2 \le [/mm] 0
(1 - [mm] x_n)* x_n \le [/mm] 0
daher folgt ja 1 und 0. analog folgt das für [mm] x_n^2 \le x_{n}.
[/mm]
"Zu jedem beliebigen Startwert $ [mm] a_1 [/mm] $ GIBT es aber einen eindeutigen Grenzwert.
Für Startwerte $ [mm] \ge [/mm] $ 1 ist das die 1, für Startwerte zwischen 1 und 0 ist das die Null."
Womit begründest du das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Do 17.04.2008 | | Autor: | abakus |
> hi, danke erstmal.
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> auf die frage, wie ich auf das ergebnis komme. also ich
> habe einfach den grenzwertübergang betrachtet, also von
> [mm]x_{n+1} \le x_n^2 \le x_{n-1}[/mm] komme ich dann auf [mm]x_{n} \le x_n^2 \le x_{n}.[/mm]
> so dann habe ich folgendes betrachtet:
>
> [mm]x_{n} \le x_n^2[/mm]
> [mm]x_{n}[/mm] - [mm]x_n^2 \le[/mm] 0
> (1 - [mm]x_n)* x_n \le[/mm] 0
>
> daher folgt ja 1 und 0. analog folgt das für [mm]x_n^2 \le x_{n}.[/mm]
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> "Zu jedem beliebigen Startwert [mm]a_1[/mm] GIBT es aber einen
> eindeutigen Grenzwert.
> Für Startwerte [mm]\ge[/mm] 1 ist das die 1, für Startwerte
> zwischen 1 und 0 ist das die Null."
>
> Womit begründest du das?
Ich glaube, ich muss mich korrigieren.
Sobald einmal ein Folgenglied kleiner als 1 ist, ist der Grenzwert zwangsläufig Null.
Es ist aber möglich, für Startwerte >1 die gesamte Folge oberhab von 1 zu halten. (z.B. mit [mm] x_{n+1}=\wurzel{x_n}).
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
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