Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (|a_{n}|) [/mm] konvergiert. |
Nabend.
Leider kann ich mit der Aufgaben nicht viel anfangen, da ich mir nicht genau vorstellen kann, was [mm] |a_{n}| [/mm] bedeutet. Als was genau ist der Absolutbetrag einer reellen Zahlenfolge zu betrachten?
Wenn ich zeigen soll, das diese Folge konvergiert, könnte ich z.B. herausfinden, ob diese beschränkt und über ein Monotonieverhalten verfügt.
Ich hoffe ihr könnt meinen Gedankenknoten lösen =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:45 Mi 04.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Soinapret!
Es gilt:
[mm] $$a_n [/mm] \ : \ [mm] a_1,a_2,a_3,a_4,...$$
[/mm]
Unter [mm] $\left| a_n\right|$ [/mm] kannst Du Dir folgende Zahelnfolge vorstellen:
[mm] $$\left|a_n\right| [/mm] \ : \ [mm] \left|a_1\right|,\left|a_2\right|,\left|a_3\right|,\left|a_4\right|,...$$
[/mm]
Also wird von jedem einzelnen Folgenglied jeweils der Betrag genommen.
Für den Nachweis der Konvergenz solltest Du das [mm] $\varepsilon$-[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Kriterium verwenden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:00 Do 05.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend zu Loddar:
Verwende die umgekehrte Dreiecksungleichung
$| |x|-|y| | [mm] \le [/mm] |x-y|$
FRED
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Nabend. Erst einmal will ich euch beiden danken.
Fred, könntest du deinen Tipp bitte noch etwas ausführen? Mir ist der Zusammenhang leider noch nicht klar, wie, geschwiege dann was ich genau damit zeigen würde.
Ich vermute mal etwas wie folgt:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0.
Zeige das [mm] ||a_{n}| [/mm] - a| < [mm] \varepsilon [/mm] genau ein N [mm] \in \IN [/mm] existiert, sodass dies für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt.
Dies dann irgendwie mit der Dreiecksungleichung umformen. Oder wie? =)
Schon einmal danke ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Do 05.11.2009 | | Autor: | nooschi |
kennst du das Cauchykriterium? wenn ja ist es ganz einfach:
[mm] \exists N\in\IN [/mm] , [mm] \forall\varepsilon [/mm] > 0: [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] a_{m}| [/mm] < [mm] \varepsilon, \forall [/mm] n,m > N (denn es ist ein Folge in R die konvergiert)
mit der umgekehrten Dreiecksungleichung von oben bekommst du:
[mm] ||a_{n}| [/mm] - [mm] |a_{m}|| \le |a_{n} [/mm] - [mm] a_{m}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_{n}| [/mm] konvergiert
noch eine Ergänzung: wenn du das Cauchy Kriterium nicht kennst, kannst du auch einfach [mm] a_{m} [/mm] mit a ersetzen, was dann dein Grenzwert darstellen soll. Also:
[mm] ||a_{n}| [/mm] - |a|| [mm] \le |a_{n} [/mm] - a| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow |a_{n}| [/mm] konvergiert
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Hallo nooschi, danke dir schomal für deine Antwort.
Das Konvergenzkriterium von Cauchy hatten wir in der letzten Vorlesung. So langsam geht mir ein Licht auf.
Ich weiß das gilt: Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gibt es ein N [mm] \in \IN, [/mm] sodass [mm] |a_{n} [/mm] - [mm] a_{m}| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN [/mm] gilt.
Nun muss ich zeigen, das die Folge beschränkt ist.
Anschließend zeige ich nach (Bolzaou-Weierstraß), das diese beschränkte Folge eine konvergente Teilfolge besitzt.
Aus der Definition der Konvergenz (Beschränktheit als hinreichendes Kriterium) folgere ich, das es N [mm] \in \IN [/mm] geben muss, für das [mm] |a_{n} [/mm] - a | < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Kann man das so schreiben? =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Do 05.11.2009 | | Autor: | nooschi |
naja, ich weiss jetzt nicht warum du mit Teilfolgen kommst...
mit [mm] ||a_{n}| [/mm] - [mm] |a_{m}|| \le \varepsilon [/mm] hast du schon gezeigt, dass [mm] |a_{n}| [/mm] eine CauchyFolge ist. da jede CauchyFolge in R konvergiert hast du schon gezeigt, dass [mm] |a_{n}| [/mm] konvergiert, also bist du fertig
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Es ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für n>N.
Wegen
$| [mm] |a_n|-|a| [/mm] | [mm] \le |a_n-a|$ [/mm] für jedes n
folgt: $| [mm] |a_n|-|a| [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] $ für n>N.
FAZIT: [mm] $|a_n| \to [/mm] |a|$
FRED
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