Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:52 Sa 20.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 4.5. Sei q>0 eine festgewählte reelle Zahl und sei
[mm] $b:=\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$
[/mm]
Konvergiert die Folge [mm] (b_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] und falls ja, gegen welchen Grenzwert? |
Hallo,
Die Folge konvergiert und zwar gegen den Grenzwert [mm] $k=\frac{2}{3q^{2}}$
[/mm]
Ist das richtig?
Muss ich noch zeigen dass die Folge monoton fallend/wachsend ist?
Danke.
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Hallo kushkush,
wenn du eine Vermutung für den GW hast, dann versuch das doch einfach mal über die Definition des Grenzwerts auch zu zeigen!
Dann brauchst du auch nichts weiteres mehr zu zeigen, wenn du das direkt gezeigt hast.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 Sa 20.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo und danke Gonozal_IX
die Definition des GW ist:
[mm] $\overline{D}:= \{ a \in \IR : \exists$ Folge $ (x_{n})_{n\in \IN}$ mit $ \limes_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a $ und $ x_{n} \in D \}.$
[/mm]
mein $ [mm] x_{n}:=\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}$
[/mm]
[mm] $\limes_{n \rightarrow \infty}\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1} [/mm] = [mm] \frac{3}{3q^{2}}$
[/mm]
Damit bin ich aber auch nicht viel weiter als am Anfang... ?
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Huhu,
nein, das ist nicht die Definition des GW.... da haperts anscheinden mal wieder an den Grundlagen....
Ich mach mal den Anfang, mach du mal weiter:
[mm] $a_n \to [/mm] a [mm] \gdw$ [/mm] Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\ge [/mm] N $ gilt .....
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:23 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
sei vorsichtig! nimm mal q=0.1 und berechne [mm] a_{100}
[/mm]
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:32 So 21.11.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu Leduart,
die Fallunterscheidungen sind ja eigentlich offensichtlich, aber ein bisschen Wiederholung hat noch niemandem geschadet 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:00 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> [mm] $a_{n} \rightarrow [/mm] a [mm] \gdw [/mm] $Für alle$ [mm] \epsilon [/mm] > 0$ existiert ein $N [mm] \in \IN$ [/mm] , so > dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt
[mm] $a_{n} \rightarrow [/mm] a [mm] \gdw [/mm] Für alle [mm] \epsilon [/mm] > 0$ existiert ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt [mm] $|a_{n}-\frac{3}{3q^{2}}|< \epsilon [/mm] $
[mm] \Rightarrow |a_{n}-\frac{3}{3q^{2}}|
> sei vorsichtig! nimm mal q=0.1 und berechne
OK,
dann gibt es zwei verschiedene Grenzwerte einen für den Fall dass 0<q<1 und einer für q>1 ist.
Für $0<q<1$ wird der Grenzwert $1$ und für $q>1$: $ [mm] \frac{3}{3q^{2}}$
[/mm]
Dann muss man wohl auch für beide Fälle diese Epsilon Geschichte durchspielen?
Danke...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:04 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja oder man kann auf schon bewiesene Nullfolgen und Grenzwertsaätze zurückgreifen.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 So 21.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> dann gibt es zwei verschiedene Grenzwerte einen für den
> Fall dass 0<q<1 und einer für q>1 ist.
Und einen dritten fuer $q = 1$.
> Für [mm]0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und für [mm]q>1[/mm]: [mm]\frac{3}{3q^{2}}[/mm]
Du meinst eher [mm] $\frac{2}{3 q^2}$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Ok für den Fall:
$q>1$ :
[mm] $a_{n}\rightarrow [/mm] a$ Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt [mm] $|a_{n}-\frac{2}{3q^{2}}|<\epsilon \Rightarrow |a_{n}-\frac{2}{3q^{2}}|
$q<1$:
[mm] $a_{n} \rightarrow [/mm] a$ Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0 $ existiert ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $|a_{n}-1|<\epsilon \Rightarrow |a_{n}-1|
q=1:
[mm] $a_{n} \rightarrow [/mm] a$ Für alle [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ existiert ein $N [mm] \in \IN$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt [mm] $|a_{n}-\frac{3}{4}|<\epsilon \Rightarrow |a_{n}-\frac{3}{4}|
Ist das so in Ordnung?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo kushkush
> Ok für den Fall:
>
> [mm]q>1[/mm] :
>
> [mm]a_{n}\rightarrow a[/mm] Für alle [mm]\epsilon > 0[/mm] existiert ein [mm]N \in \IN[/mm],
> so dass für alle [mm]n\ge N[/mm] gilt
> [mm]|a_{n}-\frac{2}{3q^{2}}|<\epsilon \Rightarrow |a_{n}-\frac{2}{3q^{2}}|
Das ist offen gesagt Quatsch. i.A, ist [mm] \epsilon [/mm] klein, wenigstens kann man es so klein aussuchen ,wie man will, N wird dagegen abhängig von [mm] \epsilon [/mm] gross. du sollst ein [mm] N(\epsilon) [/mm] finden, so dass für alle n>N deine erste Ungleichung gilt.
Der Rest ist entsprechend falsch.
Hinweis. das N kann man grob abschätzen, es muss nicht das kleinst mögliche n gefunden werden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
Muss das N eine bestimmte Zahl sein?
Dankeschön
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst N in Abh, von [mm] \epsilon [/mm] angeben.
Dass [mm] 1/\wurzel{n} [/mm] ne folge mit GW 0 ist kannst du etwa mit [mm] N\ge 1/e^2 [/mm] zeigen.(das ist aber nur ein Bsp und hat mit deiner folge nichts zu tun.
Schreib erstmal wirklich Dein [mm] a_n [/mm] in die zu zeigende Ungleichung und dann versuch ein n zu finden.
allerdings hatte ich auch gesagt, du kannst bekannte Nulfolgen und Sätze wie Grenzwert von Summe = summe von GW wenn die einzelnen existieren, dasselbe für produkt und Quotient. wenn ihr das hattet.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Schreib erstmal wirklich Dein in die zu zeigende Ungleichung
[mm] $|\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}-\frac{2}{q^{2}}|<\epsilon$
[/mm]
Zusammenfassen und nach n umformen?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 So 21.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, wenn dus noch richtig schreibst, und du musst nur ein [mm] N(\epsilon) [/mm] finden, so dass die Ungl auf jeden fall gilt. man muss nix exakt ausrechnen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 So 21.11.2010 | | Autor: | kushkush |
OK, zusammengefasst gibt das:
[mm] $\frac{2q^{n+4}+q^{2}-6q^{n+2}-2}{3q^{n+4}+q^{2}}<\epsilon$ [/mm]
Wie krieg ich das nach n umgestellt...?
Ich seh auch nicht was es mir nützt wenn ich hier die Grenzwerte aufteile in mehrere mit Grenzwertsätzen... ??
Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:55 Di 23.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Schreiben in der Form [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}$ [/mm] und ausrechnen?
Wäre das auch ein "Beweis"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Di 23.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du damit sagst du bestimmst den GW aus dem GW von Summen und Quotienten, deren GW du kennst ja. Falls ihr diese GW Sätze schon hattet.
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Hallo,
> OK, zusammengefasst gibt das:
>
> [mm]\frac{2q^{n+4}+q^{2}-6q^{n+2}-2}{3q^{n+4}+q^{2}}<\epsilon[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Für $q>1$ ist doch abzuschätzen: [mm]\left|\frac{2q^n+1}{3q^{n+2}+1}-\frac{2}{\red{3}q^2}\right|[/mm]
Die 3 hattest du oben verschlabbert
Erweitern liefert: [mm]=\left|\frac{3q^2\cdot{}\left(2q^n+1\right)-2\cdot{}\left(3q^{n+2}+1\right)}{3q^2\cdot{}\left(3q^{n+2}+1\right)}\right|[/mm]
Zähler verrechnen: [mm]=\left|\frac{3q^2-2}{3q^2\cdot{}\left(3q^{n+2}+1\right)}\right|=\frac{3q^2-2}{3q^2\cdot{}\left(3q^{n+2}+1\right)}[/mm]
Nun etwas abschätzen! Zähler vergrößern und/oder Nenner verkleinern vergrößert den Gesamtbruch.
Schätze die Konstanten weg ...
Dann kannst du [mm]\overset{!}{<}\varepsilon[/mm] leicht nach n auflösen ...
>
> Wie krieg ich das nach n umgestellt...?
>
>
> Ich seh auch nicht was es mir nützt wenn ich hier die
> Grenzwerte aufteile in mehrere mit Grenzwertsätzen... ??
>
> Danke!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Di 23.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> Hallo
> Wenn du damit sagst du bestimmst den GW aus dem GW von Summen und > > Quotienten, deren GW du kennst ja. Falls ihr diese GW Sätze schon hattet.
Danke die GW Sätze kenne ich schon, aber ich sehe nicht was sie mir hier bringen...
> Nun etwas abschätzen! Zähler vergrößern und/oder Nenner verkleinern > > > >vergrößert den Gesamtbruch.
> Schätze die Konstanten weg ...
Danke!!
also die 2 und 1 wegschätzen:
[mm] $\frac{1}{3q^{n+2}}<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow (n+2)ln(3q)<\frac{1}{\epsilon}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n<\frac{ln\frac{1}{\epsilon}}{ln(3q)}-2$
[/mm]
fertig gezeigt für den Fall q>1?
Für den Fall q<1:
[mm] $\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}$
[/mm]
Vermutung:
$q<1 , [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}=1$ [/mm]
Beweis:
[mm] $|\frac{2q^{n+1}}{3q^{n+2}+1}-1|<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{-3q^{n+2}+2q^{n}}{3q^{n+2}+1}$
[/mm]
die Konstanten schätze ich weg:
[mm] $\frac{2q^{n}(-1.5q^{2}}{3q^{2}q^{n}}= [/mm] -1
[mm] \Rightarrow -1<\epsilon$ [/mm]
???
Für den Fall q=1:
Vermutung:
[mm] $\limes_{n \rightarrow \infty}\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}=\frac{3}{4}$
[/mm]
Beweis:
[mm] $|\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}-\frac{3}{4}|<\epsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{-3q^{n+2}+2q^{n}-2}{-3q^{n+2}-3}
[/mm]
wegschätzen von Konstanten:
[mm] \Rightarrow \frac{-3q^{n+2}}{-3q^{n+2}}=1 [/mm]
[mm] 1<\epsilon [/mm] $
???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:07 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. du brauchst ein n>...
> > Hallo
>
> > Nun etwas abschätzen! Zähler vergrößern und/oder Nenner
> verkleinern > > > >vergrößert den Gesamtbruch.
>
> > Schätze die Konstanten weg ...
>
> Danke!!
>
> also die 2 und 1 wegschätzen:
>
> [mm]$\frac{1}{3q^{n+2}}<\epsilon[/mm]
wie kommst du zu dem nächsten Schritt? ich seh ihn nicht!
> [mm]\Rightarrow (n+2)ln(3q)<\frac{1}{\epsilon}[/mm]
> [mm]\Rightarrow n<\frac{ln\frac{1}{\epsilon}}{ln(3q)}-2$[/mm]
>
>
> fertig gezeigt für den Fall q>1?
Nein
> Für den Fall q<1:
>
> [mm]\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}[/mm]
>
> Vermutung:
> [mm]q<1 , \limes_{n\rightarrow\infty}\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}=1[/mm]
>
> Beweis:
> [mm]$|\frac{2q^{n+1}}{3q^{n+2}+1}-1|<\epsilon[/mm]
> [mm]\Rightarrow \frac{-3q^{n+2}+2q^{n}}{3q^{n+2}+1}$[/mm]
> die Konstanten schätze ich weg: Das kannst du zwar, aber die bleiben doch am ende über und so kommst du nicht ans Ziel
> [mm]$\frac{2q^{n}(-1.5q^{2}}{3q^{2}q^{n}}=[/mm] -1
>
> [mm]\Rightarrow -1<\epsilon$[/mm]
>
falsch
>
> Für den Fall q=1:
setzest du einfach q =1 ein und hast ne konstante Folge!
> Vermutung:
> [mm]\limes_{n \rightarrow \infty}\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}=\frac{3}{4}[/mm]
>
> Beweis:
>
> [mm]$|\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}-\frac{3}{4}|<\epsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \frac{-3q^{n+2}+2q^{n}-2}{-3q^{n+2}-3}[/mm]
>
> wegschätzen von Konstanten:
du musst jeden Schritt begründen, "wegschätzen von Konstanten" ist ein Tip, aber kein mathematisch Aussage. ausserdem vermisse ich Ungleichungen
> [mm]\Rightarrow \frac{-3q^{n+2}}{-3q^{n+2}}=1[/mm]
>
> [mm]1<\epsilon[/mm] $
sinnlos und falsch.
zu den Anwendungen der GW Sätze
bekannt ist für q>1 ist [mm] 1/q^n [/mm] eine Nullfolge
du hast [mm] \frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}
[/mm]
du dividierst Z und N durch [mm] q^{n+2}
[/mm]
dann hast du in Z und Nenner GW, di du berechnen kannst
beides mal Summe von 2 bekannten GW, da Z. und Nenner GW haben und GW des Nenners nicht 0, kann man sie dividieren wieder ein GW Satz .
Bei q<1 gilt [mm] q^n [/mm] ist Nullfolge, da ist es noch einfacher.
Gruss leduart
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> wie kommst du zu dem nächsten Schritt? ich seh ihn nicht!
[mm] $\frac{1}{3q^{n+2}}<\epsilon [/mm]
[mm] \Rightarrow 3q^{n+2}<\frac{1}{\epsilon}
[/mm]
[mm] \Rightarrow (n+2)ln(3q)<\frac{1}{\epsilon}
[/mm]
[mm] \Rightarrow n<\frac{ln\frac{1}{\epsilon}}{ln(3q)}-2$
[/mm]
Fall $q=1$:
> setzest du einfach q =1 ein und hast ne konstante Folge!
[mm] $\frac{3}{4}$
[/mm]
Aber wie beweise ich das mit dem epsilon??
Mit GW Sätzen:
q>1:
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{2}{q^{2}}+\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{q^{n+2}}}{\limes_{n\rightarrow \infty}3+\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{q^{n+2}}} [/mm] = [mm] \frac{0}{3}$
[/mm]
q<1:
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{2q^{n}+1}{3q^{n+2}+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \frac{\limes_{n\rightarrow \infty}2q^{n}+\limes_{n\rightarrow \infty}1}{\limes_{n\rightarrow \infty}3q^{n+2}+\limes_{n\rightarrow \infty}1}=\frac{1}{1}$
[/mm]
q=1:
[mm] $\limes_{n\rightarrow \infty}\frac{2+1}{3+1}=\frac{3}{4}$
[/mm]
Danke für die Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:20 Fr 26.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 27.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Das mit dem Epsilon will ich immer noch wissen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:14 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
War die Frage für q=1?
dann einfach [mm] a_n=3/4
[/mm]
[mm] 3/4-3/4<\epsilon [/mm] für jedes n
für q<1 hattest du nen Fehler in den ungleichugen. er muss imer rauskommen [mm] n>f(\epsilon) [/mm] n< irgedwas macht keinen Sinn.
Gruss leduart.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 So 28.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> War die Frage für q=1?
Ja und für q>1
> für q<1 hattest du nen Fehler in den ungleichugen. er muss imer rauskommen > n< irgedwas macht keinen Sinn.
Ich habe bei q>1 die Konstanten weggeschätzt und dann umgeformt, wieso ist es dann falsch?
Und wenn ich keinen Fehler bei der Umformung gemacht habe und etwas n< rauskommt, heisst dass das der Grenzwert nicht existiert?
Danke!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hattest
$ [mm] $\frac{1}{3q^{n+2}}<\epsilon [/mm] $
wie kommst du zur nächsten Zeile ?
ich komm durch ln auf
[mm] -(n+2)*ln(q)+ln(3)
falls du das ln rechts nur vergessen hast
dann mit -1 mult dreht das < Zeichen um
also [mm] -(n+2)*ln(q)-ln(3)
>$ [mm] \Rightarrow (n+2)ln(3q)<\frac{1}{\epsilon} [/mm] $
>$ [mm] \Rightarrow n<\frac{ln\frac{1}{\epsilon}}{ln(3q)}-2$ [/mm] $
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 28.11.2010 | | Autor: | kushkush |
> dann mit -1 mult dreht das < Zeichen um
Ok das habe ich wohl nicht gemacht! also stimmt für q>1:
[mm] $n>\frac{ln\frac{1}{\epsilon}}{ln(3q)}-2$ [/mm] ?
Danke!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
lies posts genauer, ich hatte dein falsches ln(3q)verbessert.
leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 So 28.11.2010 | | Autor: | kushkush |
für q>1 also:
[mm] $n>\frac{ln(\frac{\epsilon}{3})}{ln(q)}+2$?
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:37 So 28.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
falsch. Schritt für Schritt rechnen.
Gruss leduart
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