Konvergenz einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe die folgende Folge gegeben und soll die Konvergenz beweisen. Am Ende bekomme ich mit dem Quotientenkriterium allerdings etwas raus, was nicht wirklich Sinn macht.
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{\bruch{1}{2}*4^{k}*(k+1)! }{k^{k}}[/mm]
Mit dem Quotientenkriterium habe ich wie folgt weitergerechnet (Betragstriche und Limes lasse ich hier zur Vereinfachung weg):
[mm] \bruch{\bruch{1}{2}*4^{k+1}*(k+2)!}{(k+1)^{k+1}} * \bruch{k^{k}}{\bruch{1}{2}*4^{k}*(k+1)!} [/mm]
[mm]\bruch{1}{2}[/mm] und [mm]4^{k}[/mm] habe ich dann gekürzt und die Fakultät umformuliert:
[mm] \bruch{4*(k+2)*((k+1)!)*k^{k}}{k*(k+1)^{k}*(k+1)! [/mm]
Dann habe ich die Fakultät gekürzt, die Klammer im Nenner aufgelöst und [mm]k^{k}[/mm] auch gekürzt.
[mm]\bruch{4*(k+2)}{k*1^{k}}[/mm]
Hier fängt mein Problem da, da [mm]1^{k}[/mm] ja ein unbestimmter Ausdruck ist, wenn k gegen unendlich geht. Ich habe es dann noch weiter vereinfacht:
[mm]\bruch{4k+8}{k+1^{k}}[/mm]
Dann habe ich k noch ausgeklammert und folgendes raus:
[mm]\bruch{4}{1+\bruch{1^{k}}{k}}[/mm]
Kann man hier noch weiter rechnen und ich finde nur keinen Weg dazu oder muss ich anders an die Aufgabe heran gehen?
Danke für Hilfe :)
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Danke!
Aber wenn k=[mm]\infty[/mm] ist, ist es dann nicht unbestimmt? So steht es zumindest in meinem Matheskript, ist das dann falsch?
Wie komme ich von [mm]\bruch{k}{k+1} auf \bruch{1}{\bruch{k+1}{k}[/mm]?
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Hallo schokoschnecke,
> Aber wenn k=[mm]\infty[/mm] ist, ist es dann nicht unbestimmt? So
> steht es zumindest in meinem Matheskript, ist das dann
> falsch?
Dein Skript hat Recht. Du sollst ja auch nicht [mm] k=\infty [/mm] "einsetzen", sondern eine Grenzwertbestimmung durchführen. Das ist etwas vollkommen anderes!
> Wie komme ich von [mm]\bruch{k}{k+1} auf \bruch{1}{\bruch{k+1}{k}[/mm]?
Na, das ist eine einfache Bruchrechnungsregel. Schau Dir nochmal das Thema Doppelbrüche an. Das musst Du blind draufhaben, sonst wirst Du bei vielen Aufgaben scheitern.
Grüße
reverend
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Danke :)
Die Regel hatte ich echt nicht mehr drauf! :/
Oh mist, das solle keine Frage mehr werden...
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Derartige Kürzungsregeln gibt es nicht.
