Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Untersuchen Sie die Reihe [mm] \summe_{n=2}^\infty{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^n}} [/mm] auf Konvergenz. |
Hallo,
wegen der [mm] (-1)^n [/mm] im Nenner komme ich hier mit Leibniz nicht weiter, denn die Folge [mm] \frac{1}{\sqrt{n}+(-1)^n} [/mm] ist nicht monoton fallend; ebensowenig bringt mir das Wurzelkriterium (läuft gegen Eins). Wer kann mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo lalantila,
kannst Du nicht Deine Reihe als Summe zweier Reihen darstellen, die jeweils die benoetigte
Monotonieeigenschaft haben ?
Man koennte da sowas im Sinn haben wie die Summe ueber die geraden n und die ueber die ungeraden n.
Viele Gruesse,
Mathias
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Eine Zerlegung ist natürlich naheliegend und wurde von mir auch bereits probiert. Zerlege ich die Reihe in die Summe über gerade und ungerade n, erhalte ich [mm] a_n=\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{n}+1}, \mbox{ n gerade} \\ \frac{-1}{\sqrt{n}-1}, \mbox{ n ungerade}\end{cases}. [/mm] Allein betrachtet, divergieren beide Reihen. Ich vermute aber, dass die Summe über alle [mm] a_n [/mm] wegen der unterschiedlichen Vorzeichen der geraden [mm] a_n [/mm] und der ungeraden [mm] a_n [/mm] durchaus konvergieren kann.
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Hallo lantilia,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Du kannst versuchen 2 aufeinanderfolgende Folgeglieder zu einem zusammenfassen. Dann sollte eine eindeutige Aussage möglich sein.
viele grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
das Setzen von Klammern innerhalb einer Reihe ist meines Wissens nur bei konvergenten Reihen erlaubt. Ich möchte aber gerade erfahren, ob diese Reihe konvergiert oder nicht. (Gegenbeispiel bzgl. Zusammenfassen mehrerer Folgenglieder bei nichtkonvergenten Reihen: [mm] \sum_{n=1}^{\infty}{(-1)^{n+1}}, [/mm] also eine divergente Reihe, könnte sonst zu [mm] \sum_{n=1}^\infty{0}, [/mm] also einer konvergenten Reihe, zusammengefasst werden.)
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Hallo lalantila,
Es sollte sich eigentlich aus dem Cauchy  Konvergenzkriterium ergeben das es ausreicht wenn die Summenglieder eine Nullfolge bilden.
Was bei Deinem Gegenbsp. auch offensichtlich nicht der Fall ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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Danke für deine Antwort. Das Argument ist zwar völlig richtig: Das Gegenbeispiel divergiert offensichtlich, da es keine Nullfolge ist. Deshalb darf man nur bei konvergenten Reihen Klammern setzen und also, wie du vorgeschlagen hast, auch z.B. immer zwei Summanden zusammenfassen. Würde ich das aber bei einer divergenten Reihe (siehe Gegenbeispiel) machen, ergäbe sich vielleicht plötzlich eine Reihe mit komplett anderem Konvergenzverhalten. Da noch zu zeigen ist, ob die gegebene Reihe überhaupt konvergiert, führt diese Idee, glaube ich, nicht zum Ziel, und ich verzweifle weiterhin am Konvergenzbeweis ...
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Hallo lalantila,
Was ich meinte war:
Wenn die Summenglieder eine Nullfolge bilden kann man Klammern setzen.
Alles klar?
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo mathemaduenn,
Die Feststellung überrascht mich, da das Kriterium "Nullfolge" ja nicht hinreichend für Konvergenz ist. Andererseits klingt es logisch, ich kann kein neues Gegenbeispiel konstruieren und in allen Büchern oder PDFs, die ich auf die Schnelle finden konnte, ist stets nur die [mm] (-1)^n [/mm] - Reihe angeführt, um vor dem Setzen von Klammern bei nichtkonvergenten Reihen zu warnen.
Aus dem Cauchy-Kriterium kann ich mir die Aussage allerdings nicht herleiten. Kannst du mir noch eine Beweisskizze dafür geben?
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Hallo lalantila,
![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ja da behauptet man einfach was und schon wird man festgenagelt
Sei [mm] b_i [/mm] eine Nullfolge und [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (b_{2i}+b_{2i+1}) [/mm] konvergiert. Dann gibt es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] ein [mm] n_0 [/mm] so das [mm] |b_n|<\bruch{\epsilon}{2} [/mm] und [mm] |\summe_{i=m}^n (b_{2i}+b_{2i+1})|<\bruch{\epsilon}{2} [/mm] für [mm] n,m>n_0 [/mm] OK?
Jetzt will man zeigen das [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_i [/mm] konvergiert.
[mm] |\summe_{i=m}^n b_i|<\epsilon [/mm] für [mm] n,m>n_0
[/mm]
Und jetzt ergibt sich eine gnadenlose Fallunterscheiderei. Dafür ist es einfach zu spät aber man kann entweder vorn oder hinten Summenglieder auslagern und die Konvergenz der Folge [mm] b_i [/mm] gg. 0 nutzen.
Wenn [mm] \summe_{i=1}^{\infty} (b_{2i}+b_{2i+1}) [/mm] divergiert findet man zu jedem [mm] \epsilon [/mm] und jedem [mm] n_0 m,n>n_0 [/mm] so dass [mm] |\summe_{i=m}^{n} (b_{2i}+b_{2i+1})|>\epsilon [/mm] offenbar ist dann auch [mm] |\summe_{i=2m}^{2n+1} b_i|>\epsilon [/mm] sprich [mm] \summe_{i=1}^{\infty} b_i [/mm] divergiert auch. Für die Divergenz braucht man also die "Nullfolge" gar nicht.
viele grüße
mathemaduenn
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:56 Sa 25.02.2006 | | Autor: | lalantila |
Dankeschön 
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