Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 13.06.2009 | | Autor: | Herecome |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Reihe auf Konvergenz in Abhänigkeit von p.
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n(ln n)^{p}} [/mm] |
Hallo ^^
hab gedacht, könnte das Wurzelkriterium anwenden, aber bin mir nicht so sicher...
[mm] \wurzel[n]{\bruch{1}{n(ln n)^{p}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n(ln n)^{p}}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel[n]{n}*\wurzel[n]{(ln n)^{p}}} [/mm] und für [mm] n\to\infty [/mm] gehts doch gegen 1, für beliebige p?
wenn ich davon ausgeh, dass die [mm] "\wurzel[\infty]{\infty}" [/mm] = 1 ist...
vllt könnte ich auch eine Abschätzung machen, aber hab da ein Problem mit Folge finden, die größer ist als meine, und von der ich weis, dass sie konv. bzw div...
könntet ihr mir helfen? vielleicht ein paar Ansätze sagen?
Danke :)
Lg
|
|
| |
|
Zeige zunächst, dass die Folge (je nach p) monoton fallend oder steigend ist.
Sei nun [mm]f(x)=\bruch{1}{x(ln x)^{p}}[/mm]
Untersuche [mm]\integral_{a}^{\infty}\bruch{1}{x(ln x)^{p}}dx[/mm] (substituiere t = ln x).
Für eine monoton fallende Folge/Funktion gilt nun (s. Bild):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Betrachten wir zunächst eine monoton fallende Funktion.
Die Summanden [mm] a_n [/mm] in der Reihe lassen sich auffassen als die Fläche der grünen Balken im Bild: Die Breite beträgt 1, weil man immer von n nach n+1 eine Stelle weiter nach rechts geht, ihre Höhe f(n), beginnend mit f(a). Betrachten wir die Reihe nur von n=a bis n=b, so entspricht ihr Wert der grünen Gesamtfläche ohne den ganz rechten Balken.
Denke dir zunächst den Balken ganz rechts weg. Die grünen Balken haben die Höhe f(n) für n=a bis n=b (ohne den ganz rechts) und wurden nach links gezeichnet, daher befinden sie sich alle unterhalb des Funktionsgraphen. Die Fläche zwischen Funktionsgraphen und x-Achse von x=a-1 bis x=b ist also größer als die Summe von n=a bis n=b.
Kannst du nun zeigen, dass [mm]\integral_{1}^{\infty}\bruch{1}{x(ln x)^{p}}dx[/mm] endlich ist, so ist es auch
[mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n(ln n)^{p}}[/mm]. (Konvergenz)
Hier ist das Ärgerliche noch, dass bei x=1 der Nenner im Integral 0 wird. Deshalb machst du Folgendes:
Das erste Glied mit n=2 berechnest du "per Hand" und startest dann den Rest der Reihe ab n=2, indem du nun benutzt, dass dieser Rest <[mm]\integral_{2}^{\infty}\bruch{1}{x(ln x)^{p}}dx[/mm] endlich ist.
Denke dir nun den Balken ganz links weg, dafür den ganz rechts hinzu. Außerdem betrachten wir nun die Gesamtbalken (grün und gelb). Wieder hat jeder Gesamtbalken die Höhe f(n) für n=a bis b, ist aber nun nach rechts gezeichnet und damit immer Höher als der Funktionsgraph. Die Fläche zwischen Funktionsgraphen und x-Achse von x=a bis x=b+1 ist also kleiner als die Summe von n=a bis n=b.
Kannst du nun zeigen, dass [mm]\integral_{2}^{\infty}\bruch{1}{x(ln x)^{p}}dx[/mm] unendlich ist, so ist es auch
[mm]\summe_{n=2}^{\infty}\bruch{1}{n(ln n)^{p}}[/mm]. (Divergenz)
Für bestimmte p hast du aber eine monoton steigende Folge; da ist natürlich klar, dass die Reihe divergiert (Glieder sind keine Nullfolgen), eine Abschätzung mit Hilfe des Integrals nach obigen Überlegungen ist nur dann interessant, wenn man die rechte Grenze b noch im Endlichen hat und wissen will, welchen Wert ungefähr die endliche Teilsumme hat.
Den Fall p=1 musst du extra betrachten.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
|
|
