Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{3}}{2^{n}} x^{n} [/mm] ? |
Hallo
ich habe bei dieser Aufgabe ein kleines Problem denn wie soll ich das genau zeigen?...Mir ist klar dass für [mm] x\ge [/mm] 2 die Folge gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert...aber was muss ich denn jetzt hier genau zeigen?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mo 29.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Schmetterfee!
Hier ist quasi der ![[]](/images/popup.gif) Konvergenzradius der Potenzreihe gesucht.
Dieser berechnet sich z.B. zu:
[mm]r \ = \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
Setze hier ein mit [mm]a_n \ := \ \bruch{n^3}{2^n}[/mm] und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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Hallo >
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> Hier ist quasi der
> Konvergenzradius
> der Potenzreihe gesucht.
Danke darauf wäre ich nie gekommen, weil wir sowas in der Vorlesung noch nicht hatten. Ist im Forster irgendwie Kapitel 21 und wir sind gerade mal Kapitel 9. Würde es auch noch eine andere Möglichkeit geben?
>
> Dieser berechnet sich z.B. zu:
>
> [mm]r \ = \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> Setze hier ein mit [mm]a_n \ := \ \bruch{n^3}{2^n}[/mm] und fasse
> zusammen.
>
>
wenn ichd das nun ausrechne erhalte ich
r = [mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{n^{3} * 2^{n}}{(n+1)^{3}}\right|=\bruch{ \infty}{ \infty} [/mm] =1
und was würde mir das nun sagen?...warum muss ich das [mm] x^{n} [/mm] nicht berücksichtigen?
LG Schmetterfee
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Hallo Schmetterfee,
> Hallo >
> >
> > Hier ist quasi der
> >
> Konvergenzradius
> > der Potenzreihe gesucht.
> Danke darauf wäre ich nie gekommen, weil wir sowas in der
> Vorlesung noch nicht hatten. Ist im Forster irgendwie
> Kapitel 21 und wir sind gerade mal Kapitel 9. Würde es
> auch noch eine andere Möglichkeit geben?
>
> >
> > Dieser berechnet sich z.B. zu:
> >
> > [mm]r \ = \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> >
> > Setze hier ein mit [mm]a_n \ := \ \bruch{n^3}{2^n}[/mm] und fasse
> > zusammen.
> >
> >
> wenn ichd das nun ausrechne erhalte ich
> r =
> [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{n^{3} * 2^{n}}{(n+1)^{3}}\right|=\bruch{ \infty}{ \infty}[/mm]
Was ist denn da passiert??
[mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}\frac{2^{n+1}}{(n+1)^3}=2\cdot{}\frac{n^3}{(n+1)^3}[/mm]
Und was ist hier für [mm]n\to\infty[/mm] los?
Wie sieht's also mit dem Konvergenzradius aus?
> =1
> und was würde mir das nun sagen?...warum muss ich das
> [mm]x^{n}[/mm] nicht berücksichtigen?
Setze mal das ganz "normale" QK an, was ergibt sich?
Du wirst sehen ... ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
Alternativ zu dem o.g. Ansatz ist hier auch das übliche Kriterium von Cauchy-Hadamard schnell zielführend (angelehnt an das WK)
>
> LG Schmetterfee
Gruß
schachuzipus
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Hallo
> > > Dieser berechnet sich z.B. zu:
> > >
> > > [mm]r \ = \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> >
> > >
> > > Setze hier ein mit [mm]a_n \ := \ \bruch{n^3}{2^n}[/mm] und fasse
> > > zusammen.
> > >
> > >
> > wenn ichd das nun ausrechne erhalte ich
> > r =
> > [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{n^{3} * 2^{n}}{(n+1)^{3}}\right|=\bruch{ \infty}{ \infty}[/mm]
>
> Was ist denn da passiert??
>
Oh sorry da is mir doch tatsächlich ein n in den Exponenten gerutscht...
> [mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}\frac{2^{n+1}}{(n+1)^3}=2\cdot{}\frac{n^3}{(n+1)^3}[/mm]
>
> Und was ist hier für [mm]n\to\infty[/mm] los?
>
konvergiert also gegen 2 da 2 * [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] = 2
> Wie sieht's also mit dem Konvergenzradius aus?
>
>
Der beträgt also 2... und was sagt mir das jetzt?...ich verstehe das bei Wikipedia leider nicht ganz..
> Setze mal das ganz "normale" QK an, was ergibt sich?
>
Naja dann ergibt sich [mm] \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|= [/mm] | [mm] \bruch{
(n+1)^{3} *x}{2*n^{3}}|
[/mm]
Müsste ichd as denn nach x umstelle'? weil dann würde ja folgen x= [mm] \bruch{n^{3} *2}{(n+1)^{3}} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] würde das bedeuten x=2
und wie würde ich dann weiter machen?
> Du wirst sehen ...
>
es kommt also bei beiden das gleiche raus...
> Alternativ zu dem o.g. Ansatz ist hier auch das übliche
> Kriterium von Cauchy-Hadamard schnell zielführend
> (angelehnt an das WK)
>
dieses Kriterium wurde leider auch noch nicht in der Vorlesung behandelt.
LG Schmetterfee
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Hallo nochmal,
> Hallo
>
> > > > Dieser berechnet sich z.B. zu:
> > > >
> > > > [mm]r \ = \ \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Setze hier ein mit [mm]a_n \ := \ \bruch{n^3}{2^n}[/mm] und fasse
> > > > zusammen.
> > > >
> > > >
> > > wenn ichd das nun ausrechne erhalte ich
> > > r =
> > > [mm]\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{a_n}{a_{n+1}}\right|= \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\bruch{n^{3} * 2^{n}}{(n+1)^{3}}\right|=\bruch{ \infty}{ \infty}[/mm]
> >
> > Was ist denn da passiert??
> >
>
> Oh sorry da is mir doch tatsächlich ein n in den
> Exponenten gerutscht...
>
> >
> [mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}\frac{2^{n+1}}{(n+1)^3}=2\cdot{}\frac{n^3}{(n+1)^3}[/mm]
> >
> > Und was ist hier für [mm]n\to\infty[/mm] los?
> >
>
> konvergiert also gegen 2 da 2 * [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] = 2
Oh wei, was ist denn da mit [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] ??
Das ist ein unbestimmter Ausdruck.
Es ist [mm]\frac{n^3}{(n+1)^3}=\frac{n^3}{n^3\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}[/mm]
Und das strebt gegen 1 für [mm]n\to\infty[/mm]
> > Wie sieht's also mit dem Konvergenzradius aus?
> >
> >
> Der beträgt also 2... und was sagt mir das jetzt?...ich
> verstehe das bei Wikipedia leider nicht ganz..
Das liefert dir Konvergenz für [mm]|x|<2[/mm], also [mm]x\in (-2,2)[/mm]
Und Divergenz für [mm]|x|>2[/mm]
Über die Randpunkte [mm]x=\pm 2[/mm] weißt du noch nix, die musst du separat untersuchen!
> > Setze mal das ganz "normale" QK an, was ergibt sich?
> >
> Naja dann ergibt sich [mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=[/mm]
Da ist doch [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] zu berechnen mit [mm]a_n=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}x^n[/mm]
Rechne das mal aus und schaue nochmal, was das QK dann sagt ...
> | [mm]\bruch{ (n+1)^{3} *x}{2*n^{3}}|[/mm]
> Müsste ichd as denn nach x
> umstelle'? weil dann würde ja folgen x= [mm]\bruch{n^{3} *2}{(n+1)^{3}}[/mm]
> für n [mm]\to \infty[/mm] würde das bedeuten x=2
> und wie würde ich dann weiter machen?
Das ist vermurkst!
>
> > Du wirst sehen ...
> >
> es kommt also bei beiden das gleiche raus...
>
> > Alternativ zu dem o.g. Ansatz ist hier auch das übliche
> > Kriterium von Cauchy-Hadamard schnell zielführend
> > (angelehnt an das WK)
> >
> dieses Kriterium wurde leider auch noch nicht in der
> Vorlesung behandelt.
Das ist zwar sehr ungewöhnlich, wenn ihr schon Potenzreihen behandelt, aber dann solltest du auf das "normale" QK zurückgreifen (oder das "normale" Wurzelkrit.)
>
> LG Schmetterfee
Gruß
schachuzipus
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Hallo
> > > > wenn ichd das nun ausrechne erhalte ich
> [mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}\frac{2^{n+1}}{(n+1)^3}=2\cdot{}\frac{n^3}{(n+1)^3}[/mm]
> > >
> > > Und was ist hier für [mm]n\to\infty[/mm] los?
> > >
> >
> > konvergiert also gegen 2 da 2 * [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] = 2
>
> Oh wei, was ist denn da mit [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] ??
>
> Das ist ein unbestimmter Ausdruck.
>
> Es ist
> [mm]\frac{n^3}{(n+1)^3}=\frac{n^3}{n^3\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}[/mm]
>
> Und das strebt gegen 1 für [mm]n\to\infty[/mm]
Okay sieht eindeutig hübscher aus und ist wahrscheinlich auch richtiger...
aber müsste das nicht [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] heißen?
>
> > > Wie sieht's also mit dem Konvergenzradius aus?
> > >
> > >
> > Der beträgt also 2... und was sagt mir das jetzt?...ich
> > verstehe das bei Wikipedia leider nicht ganz..
>
> Das liefert dir Konvergenz für [mm]|x|<2[/mm], also [mm]x\in (-2,2)[/mm]
>
> Und Divergenz für [mm]|x|>2[/mm]
>
> Über die Randpunkte [mm]x=\pm 2[/mm] weißt du noch nix, die musst
> du separat untersuchen!
>
wie untersuche ich die denn separat?
> > > Setze mal das ganz "normale" QK an, was ergibt sich?
> > >
>
> Da ist doch
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] zu
> berechnen mit [mm]a_n=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}x^n[/mm]
>
> Rechne das mal aus und schaue nochmal, was das QK dann sagt
> ...
da habe ich ja gemacht und das ergibt
| [mm]\bruch{ (n+1)^{3} *x}{2*n^{3}}|[/mm]
aber wie mache ich dann hiermit weitern?
>
> > > Du wirst sehen ...
> >
> > > Alternativ zu dem o.g. Ansatz ist hier auch das übliche
> > > Kriterium von Cauchy-Hadamard schnell zielführend
> > > (angelehnt an das WK)
> > >
> > dieses Kriterium wurde leider auch noch nicht in der
> > Vorlesung behandelt.
>
> Das ist zwar sehr ungewöhnlich, wenn ihr schon
> Potenzreihen behandelt, aber dann solltest du auf das
> "normale" QK zurückgreifen (oder das "normale"
> Wurzelkrit.)
>
naja das wurzelkriterium kennen wir leider auch noch nicht :-(
LG Schmetterfee
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Hallo nochmal,
> Hallo
> > > > > wenn ichd das nun ausrechne erhalte ich
> >
> [mm]\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}\frac{2^{n+1}}{(n+1)^3}=2\cdot{}\frac{n^3}{(n+1)^3}[/mm]
> > > >
> > > > Und was ist hier für [mm]n\to\infty[/mm] los?
> > > >
> > >
> > > konvergiert also gegen 2 da 2 * [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] = 2
> >
> > Oh wei, was ist denn da mit [mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm] ??
> >
> > Das ist ein unbestimmter Ausdruck.
> >
> > Es ist
> >
> [mm]\frac{n^3}{(n+1)^3}=\frac{n^3}{n^3\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}[/mm]
> >
> > Und das strebt gegen 1 für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> Okay sieht eindeutig hübscher aus und ist wahrscheinlich
> auch richtiger...
Es ist sogar richtigst!
> aber müsste das nicht [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] heißen?
Nein, klammere innerhalb der Klammer n aus und benutze [mm](a\cdot{}b)^n=a^n\cdot{}b^n[/mm]
> >
> > > > Wie sieht's also mit dem Konvergenzradius aus?
> > > >
> > > >
> > > Der beträgt also 2... und was sagt mir das jetzt?...ich
> > > verstehe das bei Wikipedia leider nicht ganz..
> >
> > Das liefert dir Konvergenz für [mm]|x|<2[/mm], also [mm]x\in (-2,2)[/mm]
>
> >
> > Und Divergenz für [mm]|x|>2[/mm]
> >
> > Über die Randpunkte [mm]x=\pm 2[/mm] weißt du noch nix, die musst
> > du separat untersuchen!
> >
> wie untersuche ich die denn separat?
Setze nacheinander [mm]x=2, x=-2[/mm] in die Reihe ein und prüfe auf Konvergenz
>
> > > > Setze mal das ganz "normale" QK an, was ergibt sich?
> > > >
> >
> > Da ist doch
> > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] zu
> > berechnen mit [mm]a_n=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}x^n[/mm]
> >
> > Rechne das mal aus und schaue nochmal, was das QK dann sagt
> > ...
> da habe ich ja gemacht und das ergibt
> | [mm]\bruch{ (n+1)^{3} *x}{2*n^{3}}|[/mm]
>
> aber wie mache ich dann hiermit weitern?
Das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]\frac{1}{2}\cdot{}|x|[/mm]
Und das QK sagt, dass die (absolut) Reihe konvergent ist, falls [mm]\frac{1}{2}|x|<1[/mm] ist.
dh. für [mm]|x|<2[/mm]
Genau das Ergebnis wie mit dem Eulerkriterium
> naja das wurzelkriterium kennen wir leider auch noch nicht
> :-(
Dann bleibt immerhin der Weg über das QK
>
> LG Schmetterfee
>
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo
> > > Es ist
> [mm]\frac{n^3}{(n+1)^3}=\frac{n^3}{n^3\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^3}[/mm]
> > >
>
> > aber müsste das nicht [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] heißen?
>
> Nein, klammere innerhalb der Klammer n aus und benutze
> [mm](a\cdot{}b)^n=a^n\cdot{}b^n[/mm]
>
okay jetzt sehe ich auch was du meinst mit umklammerung
> > >
> > wie untersuche ich die denn separat?
>
> Setze nacheinander [mm]x=2, x=-2[/mm] in die Reihe ein und prüfe
> auf Konvergenz
>
>
Naja wenn ich das in das QK einsetzte bleibt bei beiden nachher (1+ [mm] \bruch{1}{n})^{3} [/mm] stehen und das konvergiert ja...aber wogegen eigentlich allgemein gilt ja nlim [mm] (1+\bruch{1}{n})^{n}= [/mm] e aber wenn das n=3 ist konvergiert das denn auch schon gegen e oder noch gegen1? wahrscheinlich doofe Frage aber ich sehe das gerade echt nicht...aber egal ob es gegen 1 oder e konvergiert wäre es dann nach´dem QK nicht konvergent, weil das ja nur für [mm] 0<\theta<1 [/mm] gilt oder?..was mache ich dann?
> >
> > > > > Setze mal das ganz "normale" QK an, was ergibt sich?
> > > > >
> > >
> > > Da ist doch
> > > [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] zu
> > > berechnen mit [mm]a_n=\frac{n^3}{2^n}\cdot{}x^n[/mm]
> > >
> > > Rechne das mal aus und schaue nochmal, was das QK dann sagt
> > > ...
> > da habe ich ja gemacht und das ergibt
> > | [mm]\bruch{ (n+1)^{3} *x}{2*n^{3}}|[/mm]
> >
> > aber wie mache ich dann hiermit weitern?
>
> Das strebt für [mm]n\to\infty[/mm] gegen [mm]\frac{1}{2}\cdot{}|x|[/mm]
>
> Und das QK sagt, dass die (absolut) Reihe konvergent ist,
> falls [mm]\frac{1}{2}|x|<1[/mm] ist.
>
> dh. für [mm]|x|<2[/mm]
>
LG Schmetterfee
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Hallo...
Kann mir bitte jemand das Konvergenz verhalten von lim(1+ [mm] \bruch{1}{n})^{3} [/mm] erklären..egal wo ich nachschlage finde ich darauf keine Antwort der Grenzwert muss ja irgendwo zwischen 1und e liegen oder?...ich glaub ich seh den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Und reicht das denn schon zur Untersuchung der Randpunkte?
LG Schmetterfee
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 29.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist der GW von 1+1/n ? was ist wenn man den GW von [mm] a_n [/mm] kennt d.h. erexistiert und ist endlich mit GW von [mm] a_n*a_n [/mm]
was dann mit [mm] a_n^3 [/mm] oder [mm] a_n^7
[/mm]
Gruss leduart
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> Hallo
Hallo
> was ist der GW von 1+1/n ?
der GW ist 1
> was ist wenn man den GW von [mm]a_n[/mm]
> kennt d.h. erexistiert und ist endlich mit GW von [mm]a_n*a_n[/mm]
[mm] GW(a_{n} [/mm] * [mm] a_{n})= [/mm] GW [mm] a_{n} [/mm] * GW [mm] a_{n}
[/mm]
> was dann mit [mm]a_n^3[/mm] oder [mm]a_n^7[/mm]
also müsste (1+1/n [mm] )^{3}=1 [/mm] sein oder?
LG Andrea
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 30.11.2010 | | Autor: | leduart |
Richtig
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mo 29.11.2010 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
> Hallo
> was ist der GW von 1+1/n ? was ist wenn man den GW von [mm]a_n[/mm]
> kennt d.h. erexistiert und ist endlich mit GW von [mm]a_n*a_n[/mm]
> was dann mit [mm]a_n^3[/mm] oder [mm]a_n^7[/mm]
> Gruss leduart
Alles schön und gut, aber die Frage die sich Schmetterfee (unter Umständen stellt,) und ich mir sicher stelle ist, warum widersprechen diese Grenzwertsätze denn nicht dem, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n=e [/mm] ist, obwohl doch der GW von [mm] 1+\bruch{1}{n} [/mm] = 1 ist. Dann müsste an für sich ja laut dem Ganzen auch [mm] a_n^n [/mm] = 1 sein, obwohl dem nicht so ist...
Danke schon mal für die Antwort im voraus.
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Di 30.11.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> > Hallo
> > was ist der GW von 1+1/n ? was ist wenn man den GW von [mm]a_n[/mm]
> > kennt d.h. erexistiert und ist endlich mit GW von [mm]a_n*a_n[/mm]
> > was dann mit [mm]a_n^3[/mm] oder [mm]a_n^7[/mm]
> > Gruss leduart
>
> Alles schön und gut, aber die Frage die sich Schmetterfee
> (unter Umständen stellt,) und ich mir sicher stelle ist,
> warum widersprechen diese Grenzwertsätze denn nicht dem,
> dass [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n=e[/mm] ist,
> obwohl doch der GW von [mm]1+\bruch{1}{n}[/mm] = 1 ist. Dann müsste
> an für sich ja laut dem Ganzen auch [mm]a_n^n[/mm] = 1 sein, obwohl
> dem nicht so ist...
>
> Danke schon mal für die Antwort im voraus.
nein, da ist kein Widerspruch. Bei "endlich vielen konvergenten Folgen" ist die "Produktfolge" konvergent gegen das Produkt der Grenzwerte. Bei [mm] $(1+\;1/n)^n=(1+\;1/n)*(1+\;1/n)*\ldots*(1+\;1/n)$ [/mm] haben wir aber kein Produkt endlich vieler Folgen (im Sinne von: die Anzahl der Faktoren ist konstant oder wenigstens nach oben beschränkt), sondern "die Anzahl der Faktoren wächst mit [mm] $n\,.$" [/mm] Ähnliches kennt man bzgl. Folgen auch bei "Summen" (neben der Unterscheidung zwischen Folgen und Reihen), denn beispielsweise ist jede der Folgen [mm] $(a^{(k)}_n)_n$, [/mm] welche durch [mm] $a^{(k)}_n=k/n^2$ [/mm] definiert ist, eine gegen [mm] $0\,$ [/mm] konvergente Folge, aber die Folge [mm] $(t_n)_n$definiert [/mm] durch
[mm] $$t_n:=\sum_{k=1}^n a_n^{(k)}=\sum_{k=1}^n k/n^2$$
[/mm]
kann geschrieben werden als
[mm] $$t_n=\frac{n(n+1)}{2}*\frac{1}{n^2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2n}$$
[/mm]
und strebt damit offenbar nicht gegen [mm] $0\,,$ [/mm] sondern gegen [mm] $1/2\,.$ [/mm] Und das, obwohl mit jedem größer werdenden [mm] $n\,$ [/mm] "alle Summanden dieser Folge" kleiner werden:
[mm] $$t_\red{1}=1/1^2=1\;\; (\text{ alle } \red{1} \text{ Summanden }\le [/mm] 1)$$
[mm] $$t_\red{2}=1/2^2\;+\;2/2^2=1/4\;+\;2/4\;\; (\text{ alle } \red{2} \text{ Summanden }\le [/mm] 1/2=2/4)$$
[mm] $$t_\red{3}=1/3^2\;+\;2/3^2\;+\;3/3^2=1/9\;+\;2/9\;+\;3/9\;\;(\text{ alle } \red{3} \text{ Summanden }\le [/mm] 1/3=3/9)$$
[mm] $$t_\red{4}=1/4^2\;+\;2/4^2\;+\;3/4^2\;+\;4/4^2=1/16\;+\;2/16\;+\;3/16\;+4/16\;\; (\text{ alle } \red{4} \text{ Summanden }\le [/mm] 1/4=4/16)$$
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Die Analogie oben:
Mit [mm] $s_n=(1\;+\;1/n)^n$ [/mm] ist
[mm] $$s_1=(1\;+\;1/1)^1=2$$
[/mm]
[mm] $$s_2=(1\;+\;1/2)*(1\;+\;1/2)$$
[/mm]
[mm] $$s_3=(1\;+\;1/3)*(1\;+\;1/3)*(1\;+\;1/3)$$
[/mm]
[mm] $$s_4=(1\;+\;1/4)*(1\;+\;1/4)*(1\;+\;1/4)*(1\;+\;1/4)$$
[/mm]
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Du siehst hier: Bei [mm] $(t_n)_n$ [/mm] wächst die Anzahl der (immer kleiner werdenden) Summanden mit [mm] $n\,,$ [/mm] man hat also nicht"eine Summe von endlich vielen Folgen". Analog erkennst Du bei [mm] $(s_n)_n\,,$ [/mm] dass die Anzahl der Faktoren von [mm] $n\,$ [/mm] abhängt, man also dort auch kein Produkt endlich vieler Folgen hat.
Zum Vergleich:
Bei [mm] $z_n:=(1\;+\;1/n)^3$ [/mm] ist für jedes [mm] $n\,$ [/mm] nun
[mm] $$z_n=(1\;+\;1/n)*(1\;+\;1/n)*(1\;+\;1/n)\,,$$
[/mm]
dort stehen also immer 3 Faktoren, und die Zahl [mm] $3\,$ [/mm] ist natürlich von [mm] $n\,$ [/mm] unabhängig. Somit gilt [mm] $z_n \to 1*1*1=1^3=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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