Konvergenz einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 So 30.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | | [Hier bitte NUR eine EINZIGE EIGENSTÄNDIGE Aufgabenstellung EXAKT abtippen, SONST NICHTS (keine eigenen Formulierungen). Danke. Nochmal: In diesen Kasten bitte ****KEINE**** SELBST FORMULIERTEN Texte eintragen.]http://www.matheforum.net/post?f=163&type=question |
Hallo.
Habe mal eine Frage. Und zwar zur Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n^{4}}{3^{n}} [/mm]
Ich möchte nun schaun, ob die Reihe konvergiert. Dazu habe ich das Wurzelkriterium benutzt, aber bin mir nicht sicher, ob ich das wie folgt anwenden darf.
Denn [mm] \wurzel[n]{n^{4}} [/mm] würde ja gegen 1 gehn, da [mm] \wurzel[n]{n} [/mm] gegen 1 geht.
Und [mm] \wurzel[n]{3^{n}} [/mm] würde gegen 3 gehn.
Das Gesamte somit gegen 1/3 und das wäre ja kleiner als 1. Darf ich das so machen?
Wie würde das mit Quotientenkriterium gehn?
Und wie bestimmt man den Grenzwert eigentlich? Ich weiß dann ja nur, DASS es konvergiert, aber den Grenzwert kenne ich ja ncoh nicht.
Danke vielmals.
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Hallo Solrakt,
> [Hier bitte NUR eine EINZIGE EIGENSTÄNDIGE
> Aufgabenstellung EXAKT abtippen, SONST NICHTS (keine
> eigenen Formulierungen). Danke. Nochmal: In diesen Kasten
> bitte ****KEINE**** SELBST FORMULIERTEN Texte
> eintragen.]http://www.matheforum.net/post?f=163&type=question
??????????????
>
> Hallo.
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> Habe mal eine Frage. Und zwar zur Reihe
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}\bruch{n^{4}}{3^{n}}[/mm]
Die divergiert ersichtlich gegen [mm]\infty[/mm], du addierst unendlich oft eine Konstante auf, oder ist etwa als Laufindex an der Reihe nicht k sondern [mm]\red{n}[/mm] gemeint?
Dann stimmen deine weiteren Ausführungen ...
>
> Ich möchte nun schaun, ob die Reihe konvergiert. Dazu habe
> ich das Wurzelkriterium benutzt, aber bin mir nicht sicher,
> ob ich das wie folgt anwenden darf.
>
> Denn [mm]\wurzel[n]{n^{4}}[/mm] würde ja gegen 1 gehn, da
> [mm]\wurzel[n]{n}[/mm] gegen 1 geht. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das tut's auch!
>
> Und [mm]\wurzel[n]{3^{n}}[/mm] würde gegen 3 gehn.
Wieso der Konjunktiv? 
>
> Das Gesamte somit gegen 1/3 und das wäre ja kleiner als 1.
> Darf ich das so machen? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Jo, die Reihe ist damit absolut konvergent!
>
> Wie würde das mit Quotientenkriterium gehn?
Berechne [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|[/mm] mit [mm]a_n=\frac{n^4}{3^n}[/mm]
Also [mm]\ldots=\frac{1}{3}\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^4}{n^4}[/mm]
>
> Und wie bestimmt man den Grenzwert eigentlich? Ich weiß
> dann ja nur, DASS es konvergiert, aber den Grenzwert kenne
> ich ja ncoh nicht.
Du meinst den Reihenwert?
Nun, du kennst die geometrische Reihe [mm]\sum\limits_{n=0}^{\infty}q^k[/mm], die für [mm]|q|<1[/mm] gegen [mm]\frac{1}{1-q}[/mm] konvergiert.
Das ist ein wenig aufwendig. Leite beide Seiten 4-mal ab und forme geschmeidig um ...
Bei dir mit [mm] $q=\frac{1}{3}$
[/mm]
>
> Danke vielmals.
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 30.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke sehr für deine Antwort.
> ??????????????
Ich wundere mich auch, dass der Text da steht. Ich krieg den irgendwie nicht weg xD
> Die divergiert ersichtlich gegen $ [mm] \infty [/mm] $, du addierst unendlich oft eine
> Konstante auf, oder ist etwa als Laufindex an der Reihe nicht k sondern $ > [mm] \red{n} [/mm] $ gemeint?
Oh...ja sry. Ich meinte den Laufindex n. Danke dafür.
Bevor ich mich jetzt ans QK versuche, möchte ich erstmal den Reihenwert bestimmen, weil ich da GAR keine Ahnung hab (und sowas bestimmt in der Klausur drankommt xD)
Ich versteh leider nicht genau, was ich dazu nun machen soll. Klar die geometrische Reihe kenne ich. Und falls die konvergiert, ist der reihenwert als [mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] gegeben.
Ich soll jetzt die ersten vier Ableitungen f', f'' usw. bestimmen? Darf ich das denn einfach so machen?
Danke nochmal.
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Hallo SolRakt,
> Danke sehr für deine Antwort.
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> > ??????????????
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> Ich wundere mich auch, dass der Text da steht. Ich krieg
> den irgendwie nicht weg xD
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> > Die divergiert ersichtlich gegen [mm]\infty [/mm], du addierst
> unendlich oft eine
> > Konstante auf, oder ist etwa als Laufindex an der Reihe
> nicht k sondern [mm]> \red{n}[/mm] gemeint?
>
> Oh...ja sry. Ich meinte den Laufindex n. Danke dafür.
>
> Bevor ich mich jetzt ans QK versuche, möchte ich erstmal
> den Reihenwert bestimmen, weil ich da GAR keine Ahnung hab
> (und sowas bestimmt in der Klausur drankommt xD)
>
> Ich versteh leider nicht genau, was ich dazu nun machen
> soll. Klar die geometrische Reihe kenne ich. Und falls die
> konvergiert, ist der reihenwert als [mm]\bruch{1}{1-q}[/mm]
> gegeben.
>
> Ich soll jetzt die ersten vier Ableitungen f', f'' usw.
> bestimmen? Darf ich das denn einfach so machen?
Eine Potenzreihe darfst Du innerhalb
des Konvergenzbereiches gliedweise differenzieren:
[mm]\bruch{d} {dq}\left( \ \summe_{n=1}^{\infty}q^{n} \ \right)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{d}{dq}\left( \ q^{n} \ \right)[/mm]
>
> Danke nochmal.
>
Gruss
MathePower
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