Konvergenz einer Reihe und... < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:33 Do 24.04.2008 | | Autor: | JonasK |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(k+1)^2*\bruch{(2x+1)^k}{3^{k+1}}
[/mm]
Für Welche Werte x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert die Reihe |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:Matheraum.de
Hier nun mein kompletter Lösungsweg:
Zuerst muss ich die Potenzreihe auf die Form [mm] ak*y^k [/mm] bringen, damit ich ak als Konvergenzkoeffizient habe. Dafür habe ich (2x+1) durch y=2x+1 substituiert und die Folge zu [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(k+1)^2*}{3^{k+1}}*y^k [/mm] umgeschrieben. Und in folgende Formel eingesetzt um den Konvergenzradius zu berechnen. r= Betrag von [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{ak}{ak+1}
[/mm]
Daraus ergibt sich folgende Darstellung [mm] \bruch{(k+1)^2}{3^{k+1}}*\bruch{3^{k+2}}{(k+2)^2}
[/mm]
Nun ist meine Frage wie ich am besten weiter vorgehe? Irgendwie komme ich zu keiner wirklichen Lösung.
Danke schonmal im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:02 Do 24.04.2008 | | Autor: | Eliza |
Hallo Jonas!
> [mm]\bruch{(k+1)^2}{3^{k+1}}*\bruch{3^{k+2}}{(k+2)^2}[/mm]
>
> Nun ist meine Frage wie ich am besten weiter vorgehe?
Kürz mal die [mm] $3^{k+1}$ [/mm] mit den [mm] $3^{k+2}$, [/mm] dann sieht das ganze schon viel netter aus  dann noch die Quadrate ausschreiben und [mm] $k^2$ [/mm] im Nenner und Zähler ausklammern. Kommst du damit weiter?
Viele Grüße,
Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:14 Do 24.04.2008 | | Autor: | JonasK |
Danke für die Antwort, sollte dann so aussehen?
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^2(1+\bruch{2}{k^2})}{k^2(1+\bruch{4}{k^2})}
[/mm]
also r=1?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:38 Do 24.04.2008 | | Autor: | Eliza |
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{k^2(1+\bruch{2}{k^2})}{k^2(1+\bruch{4}{k^2})}[/mm]
Nicht ganz, beim Kürzen bleibt doch eine 3 stehen! Die musst du mit betrachten!
Außerdem musst du [mm] $(k+1)^2$ [/mm] und [mm] $(k+2)^2$ [/mm] mit den binmoischen Formeln ausmultiplizieren...
Grüße Eliza
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Do 24.04.2008 | | Autor: | JonasK |
Gut, nun hoffe habe aber, dass der Konvergenzradius stimmt
[mm] \bruch{k^2(3+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^2})}{k^2(1+\bruch{4}{k}+\bruch{4}{k^2}}
[/mm]
r=3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Do 24.04.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jonas!
Das Ergebnis mit $r \ = \ 3$ ist richtig. Allerdings stimmt Deine Umformung nicht. Da sollte stehen:
$$... \ = \ [mm] \bruch{k^2*\left(3+\bruch{6}{k}+\bruch{3}{k^2}\right)}{k^2*\left(1+\bruch{4}{k}+\bruch{4}{k^2}\right)} [/mm] \ = \ [mm] 3*\bruch{1+\bruch{2}{k}+\bruch{1}{k^2}}{1+\bruch{4}{k}+\bruch{4}{k^2}}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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