Konvergenz einer Wurzelfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Lentio |
| Aufgabe | | zEIGEN sIE mit Hilfe des Binomialkoeffizient, dass die Folge [mm] x_n=\wurzel[n]{n} [/mm] konvergiert. |
Hallo!
bin zum Thema Konvergenzkriterium auf dieses Beispiel im Skript gestossen, was ich nicht so ganz nachvollziehen kann. Hoffe jemand kann mir helfen.
Okay, also das steht im Skript:
der Grenzwert beträgt 1.Beweis: Nach de Cauchy-Kriterium zur Konvergenz gilt: [mm] |\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon. [/mm] Da das Innere des Betrages immer positiv ist, werden die Betragsstriche weggelassen.
[mm] y_n=\wurzel[n]{n}-1<\varepsilon [/mm] wird umgeformt zu n= [mm] (1+y_n)^n<\varepsilon.
[/mm]
Anwendung des Binomialkoeffizient führt zu: n= [mm] 1+ny_n+\vektor{n \\ 2}y^2n+...+y_n^n\ge\bruch{n(n-1)}{2}y_n^2.
[/mm]
[mm] \Rightarrow y_n^2\le\bruch{2}{n-1}
[/mm]
[mm] y_n^2\le\wurzel{\bruch{2}{n-1}}\to [/mm] daraus kann N bestimmt werden
So, jetzt verstehe ich ab [mm] \ge\bruch{n(n-1)}{2}y_n^2 [/mm] nur noch Bahnhof. Was ist das für eine Abschätzung? Der REst ist mir noch unverständlicher.
mfg
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Hallo Lentino,
> zEIGEN sIE mit Hilfe des Binomialkoeffizient, dass die
> Folge [mm]x_n=\wurzel[n]{n}[/mm] konvergiert.
>
> Hallo!
>
> bin zum Thema Konvergenzkriterium auf dieses Beispiel im
> Skript gestossen, was ich nicht so ganz nachvollziehen
> kann. Hoffe jemand kann mir helfen.
>
> Okay, also das steht im Skript:
> der Grenzwert beträgt 1.Beweis: Nach de Cauchy-Kriterium
> zur Konvergenz gilt: [mm]|\wurzel[n]{n}-1|<\varepsilon.[/mm] Da das
> Innere des Betrages immer positiv ist, werden die
> Betragsstriche weggelassen.
> [mm]y_n=\wurzel[n]{n}-1<\varepsilon[/mm] wird umgeformt zu n= [mm](1+y_n)^n<\varepsilon.[/mm]
> Anwendung des Binomialkoeffizient führt zu: n=
> [mm]1+ny_n+\vektor{n \\
2}y^2n+...+y_n^n\ge\bruch{n(n-1)}{2}y_n^2.[/mm]
Hier sollte [mm]1+ny_n+\vektor{n\\
2}y_{\red{n}}^2+\ldots+y_n^n[/mm] stehen
Es sind in dieser Summe alle Summanden positiv, wenn du also alle bis auf den dritten, also [mm]\vektor{n\\
2}y_n^2[/mm] weglässt, so verkleinerst du damit den Ausdruck.
Also [mm]n=(1+y_n)^n=1+ny_n+\vektor{n\\
2}y_n^2+\ldots+y_n^n \ \ge \ \vektor{n\\
2}y_n^2[/mm]
Dann wird die Definition von [mm]\vektor{n\\
2}=\frac{n(n-1)}{2}[/mm] benutzt.
Also [mm]n \ \ge \ \vektor{n\\
2}y_n^2 \ = \ \frac{n(n-1)}{2}y_n^2[/mm]
Das nun nach [mm]y_n^2[/mm] umgestellt ergibt
>
> [mm]\Rightarrow y_n^2\le\bruch{2}{n-1}[/mm]
>
> [mm]y_n^2\le\wurzel{\bruch{2}{n-1}}\to[/mm] daraus kann N bestimmt
> werden
Da ist doch ein Quadrat zuviel:
[mm]\Rightarrow y_n \ \le \ \sqrt{\frac{2}{n-1}}[/mm]
Dies zeigt, dass [mm](y_n)_{n\in\IN}[/mm] Nullfolge ist, du kannst sogar schnell zu bel. vorgegebenem [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm]N(\varepsilon)\in\IN[/mm] angeben, so dass diese [mm]\varepsilon[/mm]- Grenzwertdefinition gilt
Damit ist [mm](y_n)_{n\in\IN}=(\sqrt[n]{n}-1)_{n\in\IN}[/mm] also Nullfolge, somit [mm]\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]
>
> So, jetzt verstehe ich ab [mm]\ge\bruch{n(n-1)}{2}y_n^2[/mm] nur
> noch Bahnhof. Was ist das für eine Abschätzung? Der REst
> ist mir noch unverständlicher.
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Mensch! Das hat mir ein wenig Licht ins Dunkle gebracht.
Aber wieso hat man sich gerade für [mm] \vektor{n\\ 2}y_n^2 [/mm] entschieden?
> Dann wird die Definition von [mm]\vektor{n\\
2}=\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
> benutzt.
Was ist das? Gibt es nur eine Definition in dieser Form für [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] oder auch allg. [mm] (z.B.\vektor{n \\ 5}) [/mm] ?
>Damit ist $ [mm] (y_n)_{n\in\IN}=(\sqrt[n]{n}-1)_{n\in\IN} [/mm] $ >also Nullfolge, somit $ [mm] \sqrt[n]{n}\longrightarrow [/mm] 1 $ >für $ [mm] n\to\infty [/mm] $
Die SChlussfolgerung verstehe ich leider nicht so ganz.
Danke für die super Hilfe!
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mo 22.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mensch! Das hat mir ein wenig Licht ins Dunkle gebracht.
>
> Aber wieso hat man sich gerade für [mm]\vektor{n\\ 2}y_n^2[/mm]
> entschieden?
Na ja, weils damit funktioniert !
>
> > Dann wird die Definition von [mm]\vektor{n\\
2}=\frac{n(n-1)}{2}[/mm]
> > benutzt.
>
> Was ist das? Gibt es nur eine Definition in dieser Form
> für [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] oder auch allg. [mm](z.B.\vektor{n \\ 5})[/mm]
Schau mal hier :
http://de.wikipedia.org/wiki/Binomialkoeffizient
> ?
>
> >Damit ist [mm](y_n)_{n\in\IN}=(\sqrt[n]{n}-1)_{n\in\IN}[/mm] >also
> Nullfolge, somit [mm]\sqrt[n]{n}\longrightarrow 1[/mm] >für
> [mm]n\to\infty[/mm]
>
>
> Die SChlussfolgerung verstehe ich leider nicht so ganz.
Ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge und [mm] (b_n) [/mm] def. durch [mm] b_n:=a_n+1, [/mm] wogegen konvergiert dann [mm] (b_n) [/mm] ????
FRED
>
> Danke für die super Hilfe!
> mfg
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Sorry, selbst nach wiki komme ich nicht ganz dahinter.
Es heißt ja [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}. [/mm] Für [mm] \vektor{n \\ 2} [/mm] also [mm] \bruch{n!}{2!(n-2)!}? [/mm] Wie kann ich das anders schreiben?
Und wieso ist $ [mm] (b_n) [/mm] $ def. durch $ [mm] b_n:=a_n+1 [/mm] $?
Noch einmal Danke.
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Mo 22.11.2010 | | Autor: | abakus |
> Sorry, selbst nach wiki komme ich nicht ganz dahinter.
>
> Es heißt ja [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] = [mm]\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}.[/mm]
> Für [mm]\vektor{n \\ 2}[/mm] also [mm]\bruch{n!}{2!(n-2)!}?[/mm] Wie kann
> ich das anders schreiben?
Hallo,
n!= n(n-1)(n-2)(n-3)*...*3*2*1
(n-2)!= (n-2)(n-3)*...*3*2*1
Von diesen beiden Fakultäten kürzt sich fast alles weg. Im Zähler bleiben nur n und (n-1) stehen.
Gruß Abakus
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> Und wieso ist [mm](b_n)[/mm] def. durch [mm]b_n:=a_n+1 [/mm]?
>
> Noch einmal Danke.
> mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:57 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Lentio |
Ah, habs verstanden! Danke.
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