Konvergenz einer Zahlenfolge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 Sa 15.09.2007 | | Autor: | mawiler |
| Aufgabe | Berechne:
1. Erste sechs Folgeglieder der Zahlenfolge
2. Ist die Zahlenfolge konvergent ?
[mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n}{3^n} [/mm] |
Hallo,
bei dieser Aufgabe komme ich irgendwie nicht mehr weiter, bzw. ich weis nicht ob ich richtig liege- könnt ihr mir hier einen Tip geben ?
Zu 1. : 1/3 , 2/9, 3/27, 4/81, 5/243 und 6/729
Zu 2.:
Meiner Meinung nach nähert sich die Folge der Null an, erreicht sie aber nicht (0,33, 0,22, 0,11...).
Somit hat die Zahlenfolge bei Null einen fixen Grenzwert.
Eine Zahlenfolge die einen Grenzwert hat, konvergiert.
Stimmt denn das, bzw. welche Wege gibt es noch in diesem Fall relativ einfach die konvergenz zu ermitteln ????
MfG
Tobi
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:45 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo mawiler,
Deine Argumentation ist schon richtig. Mit zwei Schritten kommt man hier weiter. Man zeigt die wachsende oder fallende Monotonie der Folge (vollständige Induktion), und man zeigt, dass die Folge beschränkt ist (wieder über die vollständige Induktion. Gilt beides, so ist die Folge konvergent.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:17 Sa 15.09.2007 | | Autor: | mawiler |
Hmm vielen Dank für die Antwort.
Nur wie läuft das mit der vollständigen Induktion im Beispiel ?
Im Normalfall habe ich ja einen Induktionsanfang, eine Induktionsvoraussetzung und einen Schluss.
Also einen Wert eingesetzt, der links und rechts des Gleichheitszeichens das gleiche Ergebnis bringt ist der Anfang.
Wie kann ich das Prinzip hier anwenden ???
Oder läuft das anders ????
MfG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:25 Sa 15.09.2007 | | Autor: | mawiler |
Nochmal zu meiner Frage:
In meine Formel eingesetzt bedeutet dies ja dann für n=0:
0 = [mm] \bruch{0}{3^0} [/mm]
Was im Ergebnis dann auf 0 auf der linken Seite heraus läuft.
Beide Seiten dann also 0, somit Induktionsanfang erfüllt.
Nun müsste ich den Schluss von n auf n+1 machen...
Wie funkt denn das ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Sa 15.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mawiler!
Du solltest den Induktionsanfang aber schon bei $n \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm] machen. Schließlich beginnst Du auch mit diesem Wert bei der Ermittlung Deiner Folgenglieder.
Damit erhältst Du also für $n \ = \ 1$ : [mm] $a_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3^1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] \ > \ 0$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Nun der Induktionsschritt:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1}{3^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{3^{n+1}}+\bruch{1}{3^{n+1}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{3}*\red{\bruch{n}{3^n}}+\bruch{1}{3^{n+1}} [/mm] \ > \ ...$$
Nun also die Induktionsvoraussetzung verwenden [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{3^n} [/mm] \ > \ 0$ . Und was weißt Du über [mm] $\bruch{1}{3^{n+1}}$ [/mm] ?
Für die Monotonie kannst Du auch den Quotienten [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n}$ [/mm] bilden und zeigen, dass dieser stets $< \ 1$ ist. Damit ist dann gezeigt, dass diese Folge monoton fallend ist.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Sa 15.09.2007 | | Autor: | mawiler |
Hallo Loddar,
mir ist noch nicht ganz klar wie Du auf
[mm] \bruch{1}{3}*\bruch{n}{3^n}+\bruch{1}{3^{n+1}} [/mm] > ... kommst...
Kannst Du das irgendwie ausführlicher schreiben ?
Und wie gehts dann nochmal weiter ?
Bei der Monotomiegeschichte verwende ich das Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{ \bruch{n+1}{3^{n+1}} }{ \bruch{n}{3^n} } [/mm] =
[mm] \bruch{(n+1)*3^n}{n*3^{n+1}} [/mm] =
[mm] \bruch{n+1}{n}*\bruch{1}{3} [/mm] =
[mm] (1+\bruch{1}{3} )*\bruch{1}{3} [/mm] < 1 für große n
Somit monton fallend- oder ????
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 So 16.09.2007 | | Autor: | mawiler |
Hi Loddar,
jetzt hab ichs kapiert.
Vielen Dank für die Hilfe.
MfG
Tobi
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Potenzgesetz