Konvergenz einer reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Mi 29.11.2006 | | Autor: | hammhe |
| Aufgabe | Untersuchen sie auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=1}^{N} \bruch{n^n}{n!+n^n} [/mm] |
hallo,
ich denke dass die reihe gegen 1 konvergiert, weiß jedoch nicht wie ichs zeigen soll.
kann mir jemand nen tip geben?
mfg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Mi 29.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Hammhe!
Kannst Du vielleicht nochmal Deine angegebene Reihe überprüfen? Da kürzt sich ja in der dargestellten Form der Term [mm] $n^n$ [/mm] heraus.
Zudem ist der konkrete Grenzwert dieser Reihe gar nicht gefragt, sondern lediglich, ob diese Reihe konvergiert.
Hier bietet sich dafür das ![[]](/images/popup.gif) Quotientenkriterium an.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:00 Mi 29.11.2006 | | Autor: | hammhe |
hallo loddar,
entschuldigung, ich hatte das + im nenner vergessen.
irgendwie hab ich ein brett vorm kopf.
mit dem quotientenkriterium komm ich an einer stelle nicht mehr weiter
[mm] \bruch{(n+1)(n+1)^n (n!+n^n)}{(n+1)!n^n+2n^n}
[/mm]
bin ich da auf dem holzweg oder seh ich was nicht?
mfg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Do 30.11.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo hammhe!
Durch die etwas geänderte Aufgabenstellung habe ich Dich leider auf die falsche Fährte geschickt.
Untersuche doch mal zunächst die Folge [mm] $\bruch{n^n}{n!+n^n}$ [/mm] auf deren Grenzwert.
Ist das notwendige Kriterium für die Reihenkonvergenz als Nullfolge erfüllt?
Tipp zur Grenzwertermittlung: [mm] $n^n$ [/mm] ausklammern und kürzen:
[mm] $\bruch{n^n}{n!+n^n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n^n}{n^n*\left(\bruch{n!}{n^n}+1\right)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\bruch{n!}{n^n}+1}$
[/mm]
Für den Grenzwert von [mm] $\bruch{n!}{n^n}$ [/mm] siehe mal hier (muss halt auf Deine Aufgabe umgewandelt werden).
Gruß
Loddar
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