Konvergenz einer unendl. Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+1}{\wurzel{n}(n-1)} [/mm] |
Hallo!
Ich habe eine Frage!
Ich habe die obige Reihe zuerst mit dem Quotientenkriterium betrachet und kam zum Ergebnis 1, was mir also keine Aussage zu Konvergenz liefert.
Nun wollte ich das Leibniz-Kriterium anwenden:
Zuerst wollte ich die Nullfolge zeigen:
[mm] a_{n}=\bruch{n+1}{\wurzel{n}(n-1)} [/mm]
habe ich zu folgender darstellung gebracht:
[mm] \bruch{\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}+1}{n^{2}-2n+1}
[/mm]
Daraus folgt, dass [mm] \bruch{2}{n} [/mm] und [mm] \bruch{1}{n^{2}} [/mm] gegen 0 streben, auf dem Bruchstrich also nur noch 1 steht. unten habe ich ein [mm] n^{2} [/mm] stehen, sodass es sich bei der Folge um eine Nullfolge handelt.
Also ist das notwendige Kriterium erfüllt.
So jetzt komme ich zum problematischen Teil, der Monotoniebeweis:
Ich glaub ich hab mich irgendwo verrechnet oder liege total falsch:
Es gilt ja [mm] a_{n} [/mm] >= [mm] a_{n+1}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{n+1}{\wurzel{n}(n-1)} \ge \bruch{n+2}{\wurzel{n+1}(n)}
[/mm]
Um die Wurzel wegzubekommen hab ichs erstmal quadriert:
[mm] \bruch{(n+1)^{2}}{n*(n-1)^{2}} \ge \bruch{(n+2)^{2}}{n^{2}(n+1)}
[/mm]
einmal den linken nenner hochgeholt:
[mm] (n+1)^{2} \ge \bruch{(n+2)^{2}}{n^{2}(n+1)}\* [/mm] n [mm] \* (n-1)^{2}
[/mm]
(n kürzen)
= [mm] (n+1)^{2} \ge \bruch{(n-1)^{2}\*(n+2)^{2}}{n(n+1)}
[/mm]
jetzt den linken nenner hochholen:
[mm] (n+1)^{2}\*(n\*(n+1)) \ge (n-1)^{2}\*(n+2)^{2}
[/mm]
= [mm] (n+1)^{2}(n^{2}+n) \ge (n-1)^{2}(n+2)^{2}
[/mm]
= [mm] n^{4} [/mm] + [mm] 3n^{3} [/mm] + ^{2} + n [mm] \ge n^{4} [/mm] + [mm] 2n^{3} [/mm] - [mm] 3n^{2} [/mm] -4n +4
= [mm] n^{3} [/mm] + [mm] 6n^{2} [/mm] + 5n -4 [mm] \ge [/mm] 0
tja und dann weiß ich auch nicht mehr... wenn ichs mal mit derive nachrechnen lasse kommt bei der letzen zeile raus:
-4.778457118 ≤ n ≤ -1.710831453 ∨ n ≥ 0.4892885718
wenn ich derive aber die oberste ungleichung gebe spuckt er mir einfach nur x>1 aus!
Also dass die Reihe konvergiert ist mir ja klar, aber ich komme halt mit dem Monotoniebeweis durcheinander, weiß da jemand rat?
Danke und lieben Gruß
Sven
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Hallo Sven,
> Untersuchen Sie auf Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{n+1}{\wurzel{n}(n-1)}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Ich habe eine Frage!
> Ich habe die obige Reihe zuerst mit dem
> Quotientenkriterium betrachet und kam zum Ergebnis 1, was
> mir also keine Aussage zu Konvergenz liefert.
> Nun wollte ich das Leibniz-Kriterium anwenden: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das ist besser hier 
>
> Zuerst wollte ich die Nullfolge zeigen:
>
> [mm]a_{n}=\bruch{n+1}{\wurzel{n}(n-1)}[/mm]
>
> habe ich zu folgender darstellung gebracht:
>
> [mm]\bruch{\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^{2}}+1}{n^{2}-2n+1}[/mm]
Huch, wie ganau kommst du dazu? Aus 2 Summanden im Zähler weden 3?
Ich komme direkt durch Ausklammern von n auf [mm] $\frac{n+1}{\sqrt{n}(n-1)}=\frac{n\left(1+\frac{1}{n}\right)}{n\left(\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)}=\frac{1+\frac{1}{n}}{\sqrt{n}-\frac{1}{\sqrt{n}}}$
[/mm]
Was aber genauso gegen 0 strebt
>
>
>
> Daraus folgt, dass [mm]\bruch{2}{n}[/mm] und [mm]\bruch{1}{n^{2}}[/mm] gegen
> 0 streben, auf dem Bruchstrich also nur noch 1 steht. unten
> habe ich ein [mm]n^{2}[/mm] stehen, sodass es sich bei der Folge um
> eine Nullfolge handelt.
> Also ist das notwendige Kriterium erfüllt.
>
> So jetzt komme ich zum problematischen Teil, der
> Monotoniebeweis:
> Ich glaub ich hab mich irgendwo verrechnet oder liege
> total falsch:
> Es gilt ja [mm]a_{n}[/mm] >= [mm]a_{n+1}[/mm]
> Also:
>
> [mm]\bruch{n+1}{\wurzel{n}(n-1)} \ge \bruch{n+2}{\wurzel{n+1}(n)}[/mm]
>
> Um die Wurzel wegzubekommen hab ichs erstmal quadriert:
Ja, das darfst du machen, weil alles schön positiv ist
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{2}}{n*(n-1)^{2}} \ge \bruch{(n+2)^{2}}{n^{2}(n+1)}[/mm]
>
> einmal den linken nenner hochgeholt:
>
> [mm](n+1)^{2} \ge \bruch{(n+2)^{2}}{n^{2}(n+1)}\*[/mm] n [mm]\* (n-1)^{2}[/mm]
>
> (n kürzen)
>
> = [mm](n+1)^{2} \ge \bruch{(n-1)^{2}\*(n+2)^{2}}{n(n+1)}[/mm]
>
> jetzt den linken nenner hochholen:
>
> [mm](n+1)^{2}\*(n\*(n+1)) \ge (n-1)^{2}\*(n+2)^{2}[/mm]
>
> = [mm](n+1)^{2}(n^{2}+n) \ge (n-1)^{2}(n+2)^{2}[/mm]
>
> = [mm]n^{4}[/mm] + [mm]3n^{3}[/mm] + ^{2} + n [mm]\ge n^{4}[/mm] + [mm]2n^{3}[/mm] - [mm]3n^{2}[/mm] -4n
> +4
>
> = [mm]n^{3}[/mm] + [mm]6n^{2}[/mm] + 5n -4 [mm]\ge[/mm] 0
Der Ansatz deiner Rechnungen stimmt und ohne es im Detail nachkontrolliert zu haben:
Wenn diese Schlussgleichung gilt, dann kann man doch sagen, dass dies doch offensichtlich für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt
Es ist doch für $n=1$ schon [mm] $n^3+6n^2+5n=1^3+6\cdot{}1^2+5\cdot{}1=12>4$
[/mm]
Wenn du willst, kannst du noch ne Induktion machen, aber die Aussage oben ist eigentlich glasklar!
> tja und dann weiß ich auch nicht mehr... wenn ichs mal mit
> derive nachrechnen lasse kommt bei der letzen zeile raus:
>
> -4.778457118 ≤ n ≤ -1.710831453 ∨ n
> ≥ 0.4892885718
>
>
> wenn ich derive aber die oberste ungleichung gebe spuckt er
> mir einfach nur x>1 aus!
>
> Also dass die Reihe konvergiert ist mir ja klar, aber ich
> komme halt mit dem Monotoniebeweis durcheinander, weiß da
> jemand rat?
>
> Danke und lieben Gruß
>
> Sven
LG
schachuzipus
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