Konvergenz eines unbest. Int. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich sitze jetz schon seit Ewigkeiten an folgendem Problem:
Ich soll zeigen, dass - und für welche alpha - das unbestimmte Integral [mm] \integral_{0}^{\infty} {\bruch{x^{\alpha}}{x^{2}+1} dx} [/mm] konvergiert.
Die einzige Möglichkeit, die ich dazu kenne, ist die Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{\alpha}}{n^{2}+1} [/mm] nachzuweisen und damit auf die Konvergenz des Integrals zu schließen.
Gefühlsmäßig würd ich ja versuchen ne Majorante zu finden, aber da gingen bisher alle Versuche ins Leere. Da hab ich bisher höchstens
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n^{\alpha}}{n^{2}+1}<\bruch{n^{\alpha}}{n^{2}}=\bruch{1}{n^{2-\alpha}}. [/mm] Wodurch Konvergenz bei [mm] 0<\alpha<1 [/mm] gegeben wäre. Bin mit damit allerdings nicht sicher und frage bei euch lieber noch einmal nach. ;)
Mit anderen Konvergenzkriterien (Wurzelkriterium etc.) kam ich auch nicht weit.
Ist das überhaupt der richtige Ansatz mit der Reihe?
Und wenn ja, gebt mir bitte nen kleinen Anstoß bzw. ne Bestätigung. :)
thx steele
Edit: Versuche noch die Formeln zum Funktionieren zu bringen...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:02 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo steelscout,
du kannst auch die Integrandenfunktion abschätzen. Wenn für $x [mm] \in[a;b] \Rightarrow 0\ge [/mm] f(x) [mm] \ge [/mm] g(x)$ gilt, dass [mm] $\int_a^b [/mm] f(x)dx [mm] \le \int_a^b [/mm] g(x)dx$. Also bei dir für [mm] $\alpha\neq [/mm] 1$:
[mm] $\int_0^{\infty} \frac{x^{\alpha}}{x^2+1}dx \le \int_0^{\infty} \frac{x^{\alpha}}{x^2}dx [/mm] = [mm] \int_0^{\infty} x^{\alpha-2}dx =\left[ \frac{1}{\alpha-1}x^{\alpha-1}\right]_0^{\infty} [/mm] = [mm] \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\alpha-1}r^{\alpha-1}$
[/mm]
Damit konvergiert das Integral nur für [mm] $\alpha [/mm] < 1$.
Gruß Max
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Hab es mir gerade noch einmal durchgesehn und mir ist aufgefallen, dass besagtes Integral für kein [mm] \alpha [/mm] existieren dürfte, denn
[mm] \left[ \frac{1}{\alpha-1}x^{\alpha-1}\right]_0^{\infty} [/mm] = [mm] \lim_{r \to \infty} \frac{1}{\alpha-1}r^{\alpha-1}-\bruch{0^{\alpha-1}}{\alpha-1}
[/mm]
Ist nun [mm] \alpha [/mm] < 1 würde doch der zweite Bruch eine Division durch 0 ergeben und somit nicht existieren.
Und für [mm] \alpha [/mm] > 1 konvergiert es auch nicht, ebenson für [mm] \alpha=1, [/mm] oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Di 12.04.2005 | | Autor: | Max |
Soweit ich weiß gilt [mm] $0^x=0$ [/mm] für [mm] $x\in\IR\setminus\{0\}$.
[/mm]
Max
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