Konvergenz gegen Maximum < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:41 Mi 01.08.2012 | | Autor: | GillesvR |
| Aufgabe | | Es gibt Grenzwerte, die gegen das Minimum oder Maximum zweier Zahlen konvergieren,z.B. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n + b^n}=max(a,b). [/mm] |
Ich suche jetzt weitere Grenzwerte, die gegen das Maximum oder Minimum zweier gegebener reeller Zahlen konvergieren.
Es wäre ganz gut, wenn jemand von euch noch welche kennen würde.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:19 Mi 01.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es gibt Grenzwerte, die gegen das Minimum oder Maximum
> zweier Zahlen konvergieren,
Grenzwerte sind das ERGEBNIS eines Grenzprozesses. Die konvergieren nicht mehr. (Ja gut, man kann einen Grenzwert auch als konstante Folge auffassen etc. pp. - mir ist wichtiger, dass Du Dir mal den Unterschied zwischen den Begriffen der konvergenten Folge und dem Grenzwert einer konvergenten Folge klarmachst!) Was Du meinst, ist, dass man Folgen in Abhängigkeit zweier "Parameter" so finden/angeben kann, dass diese die Eigenschaft haben, zu konvergieren und zwar gegen das oben genannte.
> z.B. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a^n + b^n}=max(a,b).[/mm]
>
> Ich suche jetzt weitere Grenzwerte, die gegen das Maximum
> oder Minimum zweier gegebener reeller Zahlen konvergieren.
Die Formulierung ist unsinnig, siehe oben.
> Es wäre ganz gut, wenn jemand von euch noch welche kennen
> würde.
Na, wenn Du Dir klar machst, dass etwa [mm] $\max\{a,b\}=\frac{a+b+|b-a|}{2}$ [/mm] ist (analoges kannst Du Dir für [mm] $\min\{a,b\}$ [/mm] überlegen) - dann kannst Du jedenfalls mit konvergenten Folgen und stetigen Funktionen schnell passendes konstruieren.
Beispiel:
[mm] $$x_n:=\frac{1}{2}*\left(a+b+\sqrt{\Big(a+\frac{1}{e^n}-b\Big)^2}\right)$$
[/mm]
P.S.
Wie begründest Du eigentlich die von Dir behauptete Gleichung für das Maximum? Die Argumentation kann nicht analog zu dem von mir genannten Beispiel verlaufen (jedenfalls nicht direkt)!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Do 02.08.2012 | | Autor: | GillesvR |
Hallo Marcel,
der Konvergenzbergriff ist mir schon klar, ich hatte mich oben verschrieben, es war natürlich die Konvergenz der Folgen und nicht des Grenzwertes gemeint. Danke für den Grenzwert, den du genannt hast, ich suche aber eher nach Folgen, die nicht unmittelbar auf der 1/2... Formel basieren.
Zu deiner Frage, wie man die Konvergenz der von mir genannten Folge zeigen kann: Man schätzt ab, dass
für a [mm] \ge [/mm] b gilt: [mm] \wurzel[n]{a^n} \le \wurzel[n]{a^n +b^n} \le [/mm] a [mm] \wurzel[n]{2} [/mm] und wenn man n gegen unendlich laufen lässt, steht das gewünscht da. Der Fall, dass b das Maximum ist, geht analog.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 Do 02.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Marcel,
> der Konvergenzbergriff ist mir schon klar, ich hatte mich
> oben verschrieben, es war natürlich die Konvergenz der
> Folgen und nicht des Grenzwertes gemeint. Danke für den
> Grenzwert, den du genannt hast, ich suche aber eher nach
> Folgen, die nicht unmittelbar auf der 1/2... Formel
> basieren.
>
> Zu deiner Frage, wie man die Konvergenz der von mir
> genannten Folge zeigen kann: Man schätzt ab, dass
> für a [mm]\ge[/mm] b gilt: [mm]\wurzel[n]{a^n} \le \wurzel[n]{a^n +b^n} \le[/mm]
> a [mm]\wurzel[n]{2}[/mm] und wenn man n gegen unendlich laufen
> lässt, steht das gewünscht da. Der Fall, dass b das
> Maximum ist, geht analog.
Ja, so zeigt man das
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 Fr 03.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Marcel,
> der Konvergenzbergriff ist mir schon klar, ich hatte mich
> oben verschrieben, es war natürlich die Konvergenz der
> Folgen und nicht des Grenzwertes gemeint. Danke für den
> Grenzwert, den du genannt hast, ich suche aber eher nach
> Folgen, die nicht unmittelbar auf der 1/2... Formel
> basieren.
okay - die Frage ist dann aber: Was darf ich nun voraussetzen und was willst Du nicht voraussetzen? Darf ich mit stetigen Funktionen arbeiten oder eher nicht?
> Zu deiner Frage, wie man die Konvergenz der von mir
> genannten Folge zeigen kann: Man schätzt ab, dass
> für a [mm]\ge[/mm] b gilt: [mm]\wurzel[n]{a^n} \le \wurzel[n]{a^n +b^n} \le[/mm]
> a [mm]\wurzel[n]{2}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
und wenn man n gegen unendlich laufen
> lässt, steht das gewünscht da. Der Fall, dass b das
> Maximum ist, geht analog.
Ja, so kann man das zeigen - aber nicht generell:
Welche Voraussetzungen benutzt Du bei dieser Abschätzung - hast Du Dir das mal überlegt? Die Frage hatte einen Sinn, den ich nicht sofort offenbaren wollte:
Beispiel 1: Wenn $a=-3\,$ und $b=3\,$ ist, dann ist für jedes ungerade $n \in \IN$ natürlich
$$a^n+b^n=(-1)^n*3^n+3^n=0\,.$$
Beispiel 2: Stimmt Deine Abschätzung noch, wenn $a=1\,$ und $b=-2\,$ ist?
Also: Welche Voraussetzungen sollte man an $a\,$ und $b\,$ stellen?
(Es sei aber dazugesagt: Wie allgemein üblich kann es sein, dass ihr einfach $\sqrt[n]{r}$ nur für $r \ge 0$ definiert habt - dann gäbe es solche Fälle wie im Beispiel 2 oben natürlich nicht!)
Generell wollte ich halt auch noch wissen: Was darf ich denn nun voraussetzen und was darf und was darf nicht vorhanden sein? Darf ich mit stetigen Funktionen arbeiten, oder muss irgendwo eine unstetige mit ins Spiel kommen? Also mir ist nicht klar, was genau Du an Voraussetzungen hast - das ist zu klären.
Und ich hätte den Beweis oben ein wenig anders gemacht (was nicht heißt, dass er einfacher ist):
Es gilt
$$\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{(a^n+b^n)}=\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a^n\left(1+(b/a)^n)}=a*\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+(b/a)^n}\,.$$
Jetzt kann man analoges zu Dir überlegen, wann $\lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{1+(b/a)^n}=1$ ist. (Man kann es sich auch mit anderen Kenntnissen und Abschätzungen überlegen!)
In wenigstens einem Fall existiert dieser Grenzwert nicht, nämlich, wenn $$b/a=-1\,.
Gruß,
Marcel
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