Konvergenz in Abhängigkeit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
habe folgende Aufgabe.
Bestimmen sie die Menge aller [mm] a\in \IR [/mm] für die Reihe :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{a}{1-a})^k [/mm] konvergiert und bestimme den GW in relation von a.
Nun, fü a ungleich 1 ist die Reihe konvergent da ein GW existiert. Für a gleich 1 würde 1 durch 0 dastehen was nicht def. ist.
Beim zweiten Teil habe ich mit dem Quotientenkrit. argumentiert und komme auf [mm] (\bruch{a}{1-a}. [/mm] Ist das dann mein Grenzwert ??? Ein Kollege hatt noch weiter gemacht und a ausgeklammert und kommt somit auf -1 ??? Dies ist ja aber dann auch nicht abhängig von a .
Bitte um Hilfe.
habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Hallo,
> habe folgende Aufgabe.
> Bestimmen sie die Menge aller [mm]a\in \IR[/mm] für die Reihe :
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{a}{1-a})^k[/mm] konvergiert und
> bestimme den GW in relation von a.
>
> Nun, fü a ungleich 1 ist die Reihe konvergent da ein GW
> existiert.
Hallo,
da habe ich allergrößte Zweifel.
Ich nehme mal a=3.
Dann habe ich [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (-\bruch{3}{2})^k, [/mm] und demnach, was ich gelernt habe, konvergiert das nicht.
Ich glaube, es wäre eine gute Idee, mal über die geometrische Reihe und ihre Konvergenz nachzudenken. Bzw. das nachzuschlagen.
> Für a gleich 1 würde 1 durch 0 dastehen was
> nicht def. ist.
Das ist wahr.
>
> Beim zweiten Teil habe ich mit dem Quotientenkrit.
> argumentiert und komme auf [mm](\bruch{a}{1-a}.[/mm] Ist das dann
> mein Grenzwert ???
Hui, das klingt etwas abenteuerlich.
Mit diesen Kriterien für die Konvergenz von Reihen entscheidet man, ob eine Reihe konvergiert. Für die Berechnung des Grenzwertes taugen sie nicht.
Gruß v. Angela
Ein Kollege hatt noch weiter gemacht und
> a ausgeklammert und kommt somit auf -1 ??? Dies ist ja
> aber dann auch nicht abhängig von a .
>
> Bitte um Hilfe.
> habe diese frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Ah okay,
also muss gelten : a ungleich 1 und [mm] (\bruch{a}{1-a} [/mm] kleiner gleich 1, dann konvergiert die Reihe.
Und was mache ich mit dem GW ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:55 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ah okay,
> also muss gelten : a ungleich 1 und [mm](\bruch{a}{1-a}[/mm]
> kleiner gleich 1, dann konvergiert die Reihe.
Das ist falsch. Warum hast Du nicht das getan, was Angela Dir geraten hat ??
Beantworte mal folgende Fragen:
1. Für q [mm] \in \IR [/mm] sei die folgende Reihe gegeben: [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i.
[/mm]
Für welche q ist diese Reihe konvergent und für welche divergent ?
2. Ist [mm] \summe_{i=0}^{\infty}q^i [/mm] konvergent, was ist dann der Reihenwert ?
3. Mit den Antworten von 1. und 2. setze mal [mm] $q:=\bruch{a}{1-a}$
[/mm]
Was ergibt sich ?
FRED
> Und was mache ich mit dem GW ?
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Hab ich .
Mein q ist ( a/1-a) und damit die Reihe konvergiert muss der Betrag von q kleiner 1 sein. Darüberhinaus darf a nicht 1 sein da sonst der Bruch nicht def. ist. Stimmt doch, Oder ?
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> Hab ich .
> Mein q ist ( a/(1-a)) und damit die Reihe konvergiert muss
> der Betrag von q kleiner 1 sein.
Genau.
So allmählich nimmt die Sache ja doch Formen an.
Deine Chefs wollen jetzt natürlich noch von Dir wissen, für welche a das der Fall ist.
> Darüberhinaus darf a
> nicht 1 sein da sonst der Bruch nicht def. ist. Stimmt
> doch, Oder ?
Ja.
Vergiß, solange Du Dich noch irgendwelchen mathematischen Befragungen stellen mußt, nie wieder die geometrische Reihe, ihr Konvergenzverhalten und ihren GW.
Gruß v. Angela
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Wenn ich die ungleichung auflöse erhalte ich für a keiner 1/2 ist q kleiner 1, also die Reihe konvergent .
Der GW der geo Reihe ist ja a/(1-q). q eingesetzt ergibt :
2a-1/(a-1) als GW. Stimmt ?
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Und den GW noch für das Element K=0 abgezogen ergibt für zb a = 0,2 den GW 1/3. Jetzt passts.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Mi 01.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Wenn ich die ungleichung auflöse erhalte ich für a keiner
> 1/2 ist q kleiner 1, also die Reihe konvergent .
> Der GW der geo Reihe ist ja a/(1-q).
Woher kommt das a in der Formel? soll das dein a sein?
das ist falsch.
wenn du noch mal was raushast nimm etwa a=1/4 q=..
und ueberpruef dein Ergebnis
Gruss leduart
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Bei der geo. Reihe mit [mm] a*q^k [/mm] ist der GW doch a/(1-q)
Bei der Aufgabe (a/(1-a)) ist mein a hier 1 und mein q (a/1-a).
Damits konvergiert muss q< 1 sein : also :
a/(1-a)<1
a<1-a
2a<1
a<(1/2)
Was gibts daran auszusetzten ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Mi 01.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Bei der geo. Reihe mit [mm]a*q^k[/mm] ist der GW doch a/(1-q)
>
> Bei der Aufgabe (a/(1-a)) ist mein a hier 1 und mein q
> (a/1-a).
> Damits konvergiert muss q< 1 sein
Nein ! |q|<1 !!!!
: also :
> a/(1-a)<1
|a/(1-a)|<1
> a<1-a
> 2a<1
> a<(1/2)
>
> Was gibts daran auszusetzten ?
s.o.
FRED
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Wenn ich die ungleichung auflöse erhalte ich für a keiner 1/2 ist q kleiner 1, also die Reihe konvergent
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