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Konvergenz in L^1: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:28 Mi 03.02.2016
Autor: DesterX

Hallo zusammen,

ich stehe vor folgender Frage: Ich schau mir eine Funktionenfolge [mm] $f_n \in L^1(\mathbb{R})$ [/mm]  und eine Funktion $f [mm] \in L^1(\mathbb{R})$ [/mm] an und nehme an, dass
[mm] $f_n \rightarrow [/mm] f$ in [mm] L^1, [/mm] das heißt
[mm] $\int |f_n(x)- [/mm] f(x)| dx [mm] \rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow \infty$. [/mm]
Ich frage mich, ob daraus
[mm] $\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx [mm] \rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] folgt (dh ohne die Beträge).
Falls ja, wie könnte man das beweisen?
(Schließlich ist lediglich
[mm] $\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx  [mm] \leq \int |f_n(x)- [/mm] f(x)| dx$
offensichtlich).
Jedoch fällt mir spontan auch kein Gegenbeispiel zu obiger Aussage ein.
Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
Grüße
Dester


        
Bezug
Konvergenz in L^1: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:46 Mi 03.02.2016
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> ich stehe vor folgender Frage: Ich schau mir eine
> Funktionenfolge [mm]f_n \in L^1(\mathbb{R})[/mm]  und eine Funktion
> [mm]f \in L^1(\mathbb{R})[/mm] an und nehme an, dass
> [mm]f_n \rightarrow f[/mm] in [mm]L^1,[/mm] das heißt
>  [mm]\int |f_n(x)- f(x)| dx \rightarrow 0[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm].
>  
> Ich frage mich, ob daraus
>  [mm]\int (f_n(x) - f(x)) dx \rightarrow 0[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
> folgt (dh ohne die Beträge).
>  Falls ja, wie könnte man das beweisen?
>  (Schließlich ist lediglich
>  [mm]\int (f_n(x) - f(x)) dx \leq \int |f_n(x)- f(x)| dx[/mm]

Es gilt doch die Dreiecksungleichung für Integrale:

[mm]|\int (f_n(x) - f(x)) dx| \leq \int |f_n(x)- f(x)| dx[/mm]

Aus


$ [mm] \int |f_n(x)- [/mm] f(x)| dx [mm] \rightarrow [/mm] 0 $ für $ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] $

folgt dann


[mm] $|\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx| [mm] \rightarrow [/mm] 0 $ für $ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] $

und damit

[mm] $\int (f_n(x) [/mm] - f(x)) dx [mm] \rightarrow [/mm] 0 $ für $ [mm] n\rightarrow \infty [/mm] $


FRED


>  
> offensichtlich).
> Jedoch fällt mir spontan auch kein Gegenbeispiel zu obiger
> Aussage ein.
>  Würde mich sehr über eure Hilfe freuen.
> Grüße
>  Dester
>  


Bezug
                
Bezug
Konvergenz in L^1: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:14 Mi 03.02.2016
Autor: DesterX

Danke Fred!

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