Konvergenz in Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Mi 07.01.2015 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Sei [mm] $\lambda>0$ [/mm] und $X, [mm] X_1, X_2, [/mm] ...$ reelle Zufallsvariablen, sodass [mm] $X\quad Exp(\lambda)-\text{verteilt}$ [/mm] und [mm] $X_n\quad geo(\tfrac{\lambda}{n})-\text{verteilt}$ [/mm] sind. Zeigen Sie, dass [mm] $(\tfrac{1}{n}X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] in Verteilung gegen $X$ konvergiert. |
Hi,
um zu zeigen, dass [mm] $(\tfrac{1}{n}X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ [/mm] in Verteilung gegen $X$ konvergiert, muss ich ja
[mm] $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}geo(\tfrac{\lambda}{n})=1-e^{-tx}\chi_{\{x\geq0\}}$
[/mm]
Richtig?
Ich bin mir nun nicht ganz sicher wie ich die geometrische Verteilung "ausschreibe".
Die geometrische Verteilung mit Erfolgswahrscheinlichkeit [mm] $p\in(0,1)$ [/mm] ist:
[mm] $p(n)=c(1-p)^n$ [/mm] wobei $c>0$.
Ich habe leider im Skript nicht unsere Definition gefunden. Das hatten wir mal auf einem Übungsblatt so stehen, aber ich bezweifel, dass dies hier gemeint ist.
Könnte mir jemand die "echte" Verteilungsfunktion für die geometrische Verteilung zum Parameter [mm] $\frac{\lambda}{n}$ [/mm] nennen?
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mi 07.01.2015 | | Autor: | luis52 |
Moin YuSul,
bitte formuliere die Aufgabenstellung sorgfaeltiger. Es ist unklar, von welchen Verteilungen die Rede ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:44 Mi 07.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ich werde die Aufgabenstellung editieren. Entschuldigung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:10 Mi 07.01.2015 | | Autor: | luis52 |
Kannst du etwas mit dem Begriff der momenterzeugenden bzw. charakteristischen Funktion einer Verteilung etwas anfangen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 07.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ja, diesen Begriff hatten wir.
Könntest du mir auch sagen wie [mm] $geo(\frac{\lambda}{n})$ [/mm] lautet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:24 Mi 07.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Könntest du mir auch sagen wie [mm]geo(\frac{\lambda}{n})[/mm]
> lautet?
Google ist dein Freund, ![[]](/images/popup.gif) z.B.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Mi 07.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Natürlich habe ich bereits gegoogelt und auch
[mm] $p(n)=p(1-p)^n$ [/mm] gefunden, aber ich weiß nicht so recht wie ich mit dem [mm] $\lambda/n$ [/mm] umzugehen habe. Ist das die Konstante die man "davor" multipliziert, also
[mm] $p(n)=\frac{\lambda}{n}p(1-p)^n$
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:48 Mi 07.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Natürlich habe ich bereits gegoogelt und auch
>
> [mm]p(n)=p(1-p)^n[/mm] gefunden,
Prima, waere schoen gewesen, davon zu erfahren.
> aber ich weiß nicht so recht wie
> ich mit dem [mm]\lambda/n[/mm] umzugehen habe.
Setze [mm] $p=\lambda/n$. [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 07.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Entschuldigung, wobei ich im ersten Beitrag ja schon die Version von unserem Übungszettel genannt hatte.
Okay, dann ist nun also
[mm] $\lim_{n\to\infty}\frac{\lambda}{n^2}\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^n=1-e^{-t}$
[/mm]
zu zeigen?
Im Nenner das [mm] n^2 [/mm] weil ich [mm] $\frac{1}{n}X_n$ [/mm] betrachte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mi 07.01.2015 | | Autor: | luis52 |
> Im Nenner das [mm]n^2[/mm] weil ich [mm]\frac{1}{n}X_n[/mm] betrachte.
Um Himmels Willen nein. Bestimme [mm] $P(X_n/n\le x)=P(X_n\le [/mm] nx )$ ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mi 07.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, aber ich möchte doch zeigen, dass
[mm] $\lim_{n\to\infty} P(X_n\leq nx)=P(X)=\begin{cases} 1-e^{-\lambda t}\quad\text{für}\quad t\geq0\\ 0\quad\text{sonst}\end{cases}$
[/mm]
Und hier soll ich die momenteerzeugende Funktion ins Spiel bringen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mi 07.01.2015 | | Autor: | luis52 |
Moeglicher Loesungsansatz: Setze [mm] $Y_n=X_n/n$. [/mm] Es bezeichne [mm] $M_n(t)$
[/mm]
die momenterzeugende und [mm] $F_n(t)$ [/mm] die Verteilungsfunktion von [mm] $Y_n$.
[/mm]
Ferner sei $M(t)$ die momenterzeugende und $F(t)$ die
Verteilungsfunktion der Exponenentialverteilung.
Du hast zwei Moeglichkeiten:
1) Zeige [mm] $F_n(t)\to [/mm] F(t)$ fuer alle [mm] $t\in\IR$.
[/mm]
2) Zeige [mm] $M_n(t)\to [/mm] M(t)$ fuer alle $t$ in einer Nullumgebung.
Siehe z.B. hier.
So, nun ordne bitte erst einmal deine Gedanken ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mi 07.01.2015 | | Autor: | YuSul |
Ok, ich werde mal versuchen was ich so zustande bekomme.
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