Konvergenz mit epsilon-n0 Def. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Di 14.06.2011 | | Autor: | Trolli |
| Aufgabe | | [mm] a_n=\frac{1}{2^{n-1}} [/mm] |
Habe hier noch eine Aufgabe ;)
Der Grenzwert von [mm] \frac{1}{2^{n-1}} [/mm] ist 0.
Also wieder [mm] |a_n-0|
[/mm]
[mm] =\left|\frac{1}{2^{n-1}}\right|=\frac{|1|}{|2^{n-1}|}=\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{2^{n_0}}<\varepsilon
[/mm]
Sollte ich die -1 im Exponenten lassen?
Jetzt wieder die [mm] \varepsilon [/mm] Werte einsetzen:
[mm] \frac{1}{2^{n_0}}<0,1 \Rightarrow 2^{n_0}>10 \Rightarrow n_0=\frac{ln10}{ln2}\approx [/mm] 2,303 = 2
usw. für die anderen Werte.
Wird hier normal gerundet oder immer aufrunden, da man sonst zu klein wird?
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Moin Trolli,
> [mm]a_n=\frac{1}{2^{n-1}}[/mm]
> Habe hier noch eine Aufgabe ;)
>
> Der Grenzwert von [mm]\frac{1}{2^{n-1}}[/mm] ist 0.
>
> Also wieder [mm]|a_n-0|[/mm]
>
> [mm]=\left|\frac{1}{2^{n-1}}\right|=\frac{|1|}{|2^{n-1}|}=\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{2^{n_0}}<\varepsilon[/mm]
> Sollte ich die -1 im Exponenten lassen?
Die Abschätzung [mm] \frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^n} [/mm] ist doch offenbar falsch. Zum Beispiel mit n=3 steht da [mm] \frac{1}{4}<\frac{1}{8} [/mm] (?)
Du kannst auch hier [mm] \frac{1}{2^{n_0-1}}<\varepsilon [/mm] wieder ganz gut nach [mm] n_0 [/mm] umstellen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Di 14.06.2011 | | Autor: | Trolli |
> Moin Trolli,
> > [mm]a_n=\frac{1}{2^{n-1}}[/mm]
> > Habe hier noch eine Aufgabe ;)
> >
> > Der Grenzwert von [mm]\frac{1}{2^{n-1}}[/mm] ist 0.
> >
> > Also wieder [mm]|a_n-0|[/mm]
> >
> >
> [mm]=\left|\frac{1}{2^{n-1}}\right|=\frac{|1|}{|2^{n-1}|}=\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{2^{n_0}}<\varepsilon[/mm]
> > Sollte ich die -1 im Exponenten lassen?
> Die Abschätzung [mm]\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^n}[/mm] ist doch
> offenbar falsch. Zum Beispiel mit n=3 steht da
> [mm]\frac{1}{4}<\frac{1}{8}[/mm] (?)
Ja, das ist natürlich falsch *schäm*. Keine Ahnung warum ich das geschrieben habe :(
>
> Du kannst auch hier [mm]\frac{1}{2^{n_0-1}}<\varepsilon[/mm] wieder
> ganz gut nach [mm]n_0[/mm] umstellen.
>
> LG
[mm] \frac{1}{2^{n_0-1}}<0,1
[/mm]
[mm] 2^{n_0-1}>10
[/mm]
[mm] n_0-1>\frac{ln10}{ln2}
[/mm]
[mm] n_0>\frac{ln10}{ln2}+1
[/mm]
[mm] n_0>4,322=5
[/mm]
Hier aufrunden da es ja >4,3 seien muss oder?
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Hallo Trolli,
> > Moin Trolli,
> > > [mm]a_n=\frac{1}{2^{n-1}}[/mm]
> > > Habe hier noch eine Aufgabe ;)
> > >
> > > Der Grenzwert von [mm]\frac{1}{2^{n-1}}[/mm] ist 0.
> > >
> > > Also wieder [mm]|a_n-0|[/mm]
> > >
> > >
> >
> [mm]=\left|\frac{1}{2^{n-1}}\right|=\frac{|1|}{|2^{n-1}|}=\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^{n}}<\frac{1}{2^{n_0}}<\varepsilon[/mm]
> > > Sollte ich die -1 im Exponenten lassen?
> > Die Abschätzung [mm]\frac{1}{2^{n-1}}<\frac{1}{2^n}[/mm] ist
> doch
> > offenbar falsch. Zum Beispiel mit n=3 steht da
> > [mm]\frac{1}{4}<\frac{1}{8}[/mm] (?)
>
>
> Ja, das ist natürlich falsch *schäm*. Keine Ahnung warum
> ich das geschrieben habe :(
>
>
> >
> > Du kannst auch hier [mm]\frac{1}{2^{n_0-1}}<\varepsilon[/mm] wieder
> > ganz gut nach [mm]n_0[/mm] umstellen.
> >
> > LG
>
>
> [mm]\frac{1}{2^{n_0-1}}<0,1[/mm]
>
> [mm]2^{n_0-1}>10[/mm]
>
> [mm]n_0-1>\frac{ln10}{ln2}[/mm]
>
> [mm]n_0>\frac{ln10}{ln2}+1[/mm]
>
> [mm]n_0>4,322=5[/mm]
> Hier aufrunden da es ja >4,3 seien muss oder?
Wenn Du aufrundest, dann muss [mm]n_{0} \ge 5[/mm] dastehen.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:44 Di 14.06.2011 | | Autor: | Trolli |
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> > [mm]n_0>4,322=5[/mm]
> > Hier aufrunden da es ja >4,3 seien muss oder?
>
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> Wenn Du aufrundest, dann muss [mm]n_{0} \ge 5[/mm] dastehen.
>
>
> Gruss
> MathePower
Ja, das stimmt natürlich. Vielen Dank für Eure Hilfe.
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