Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:44 Mo 03.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz
a) $\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\wurzel{k(k+1)}$
b) $\summe_{k=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^k}{2^k}$
c) $\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}sin\frac{1}{k}$ |
Ich weiß leider nicht, was ich alles zeigen muss, um die Konvergenz zu zeigen.
Reicht es aus, zu zeigen, dass die unendlichste Partialsumme gegen 0 strebt?
also einfach zeigen:
$\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel{k(k+1)}}=0$
Gibt es soetwas wie ein Universalrezept um Reihen auf Konvergenz zu untersuchen?
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Hallo Lukas,
was habt Ihr denn in der Vorlesung gehabt?
> Untersuchen Sie die Reihen auf Konvergenz
> a) [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\wurzel{k(k+1)}[/mm]
> b)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^k}{2^k}[/mm]
> c)
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}sin\frac{1}{k}[/mm]
>
>
> Ich weiß leider nicht, was ich alles zeigen muss, um die
> Konvergenz zu zeigen.
Wieso nicht? Schau in Deine Mitschrift, Euer Skript, oder aber auch in ein Fachbuch. Wenn Du das alles nicht hast, gibt es das alles auch im Internet. Du scheinst über einen Zugang zu verfügen. 
> Reicht es aus, zu zeigen, dass die unendlichste
> Partialsumme gegen 0 strebt?
Klar. Mehr ist nicht nötig.
> also einfach zeigen:
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \frac{1}{\wurzel{k(k+1)}}=0[/mm]
Das allerdings ist nur der Grenzwert der aufsummierten Folgenglieder, nicht etwa der Partialsummen. Dieser Grenzwert hier muss in der Tat Null sein. Das ist das Trivialkriterium. Es garantiert nichts, aber es darf halt nicht verletzt sein.
> Gibt es soetwas wie ein Universalrezept um Reihen auf
> Konvergenz zu untersuchen?
Nein, aber es gibt mehrere Kriterien, die einem zur Auswahl stehen, z.B. das Quotientenkriterium (QK), das Wurzelkriterium (WK), das Majoranten- oder Minorantenkriterium und - je nach Reihe - u.U. noch weitere. Zumindest die bis hier genannten werdet Ihr alle gehabt haben, weil sonst die Aufgaben keinen Sinn machen.
Zu a)
Hier hilft weder QK noch WK. Mit dem Majoranten- bzw. Minorantenkriterium kommst Du aber weiter. Du weißt sicher, dass die harmonische Reihe divergent ist, aber ein Vergleich mit [mm] \summe\tfrac{1}{n} [/mm] hilft hier nicht weiter - eine divergente Majorante ist nutzlos. Versuch stattdessen mal [mm] \summe\tfrac{1}{n+1}.
[/mm]
Zu b)
Hier hilft die Aufteilung in zwei Summen, nämlich eine für ungerade k und eine für gerade k. Ab da genügt die Formel für geometrische Summen, unter den dazugehörigen Voraussetzungen. Auch das werdet Ihr gehab haben, oder? Wenn nicht: Majorantenkriterium; ersetze den Zähler durch 4.
Zu c)
Sandwich-Kriterium, also sowohl Minoranten- als auch Majorantenkriterium. Bedenke dazu [mm] |\sin{(x)}|\le{1}.
[/mm]
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mi 05.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
Danke für deine Antwort. Alleerdings ist es schwer für mich, nachzuvollziehen, wann sich welches kriterium am besten eignet und wie du zb bei a auf die majorante kommst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:41 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
zu a
[mm] $\summe \frac{1}{k+1} \ge \summe \frac{1}{\wurzel{k*(k+1)}}=\summe \frac{1}{k*\wurzel{1+\frac{1}{k}}}$
[/mm]
laut Majorantenkriterium muss ich ja jetzt beweisen, dass
[mm] $\summe \frac{1}{k+1}$ [/mm] konvergiert richtig?
Wie stellle ich das am besten an? Ich weiß nicht, was ich jetzt durch das majorantenkriterium gewonnen habe, wenn ich die Konvergenz einer Reihe über eine andere Reihe begründe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Do 06.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
um majoranten und Minoranten kriterium anzuwenden muss man Reihen kennen die konvergieren, wie etwa die geometrische Reihe für q<1 oder [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i^2
[/mm]
un divergierende wie [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i
[/mm]
dass deine Reihe a beinahe schon wie die letzte aussieht, bringt dich hoffentlich auf die richtige Idee.
manchmal muss man als anfänger eben mal merere Kriterien ausprobieren, ein patentrezept gibts nicht , aber übung macht den Meister.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
Naja ich würde sagen, dass [mm] $\summe \frac{1}{n+1}$ [/mm] auch divergiert, da sie fast wie die harmonische Reihe ist, bloß mit 1/2 anfängt statt 1. Sie wächst monoton.
Aber was bringt mir das jetzt, wenn diese divergente reihe [mm] $\ge$ [/mm] meiner zu untersuchenden reihe ist?
und zu [mm] b)\sum \frac{3+(-1)^k}{2^k}=\sum \frac{3+(-1)^{2k}}{2^{2k}}+ \sum \frac{3+(-1)^{2k-1}}{2^{2k-1}}$ [/mm] oder?
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Hallo nochmal,
> Naja ich würde sagen, dass [mm]\summe \frac{1}{n+1}[/mm] auch
> divergiert, da sie fast wie die harmonische Reihe ist,
> bloß mit 1/2 anfängt statt 1. Sie wächst monoton.
So ist es.
> Aber was bringt mir das jetzt, wenn diese divergente reihe
> [mm]\ge[/mm] meiner zu untersuchenden reihe ist?
Ist sie das? Für k>0 ist
[mm] \bruch{1}{k+1}<\bruch{1}{\wurzel{k(k+1)}}\quad \gdw\quad \wurzel{k(k+1)}
[...]
> und zu [mm]b)\sum \frac{3+(-1)^k}{2^k}=\sum \frac{3+(-1)^{2k}}{2^{2k}}+ \sum \frac{3+(-1)^{2k-1}}{2^{2k-1}}$[/mm]
> oder?
Ja. Jetzt kann man endlich eine Aussage über die Zähler treffen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
zu a) stimmt :) vielen dank
zu b)das verstehe ich nicht ganz. Wenn ich jetzt [mm] $\sum 3+(-1)^{2k}$ [/mm] betrachte, ist diese Reihe monoton steigend.
[mm] $\sum 3+(-1)^{2k-1}$ [/mm] hingegen monoton fallend. Die Nenner sind divergent.
Ich finde aber leider keinen weg, divergenz bzw konvergenz zu zeigen.
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Hallo Lukas!
Du musst schon die ganzen Terme behalten und betrachten, auch wenn Du hier in zwei Teilfolgen unterteils.
$$ [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^k}{2^k} [/mm] $$
$$= \ [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\left[ \frac{3+(-1)^{2j-1}}{2^{2j-1}}+ \frac{3+(-1)^{2j}}{2^{2j}}\right] [/mm] $$
$$= \ [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{2j-1}}{2^{2j-1}}+\summe_{j=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{2j}}{2^{2j}} [/mm] $$
$$= \ [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{3+(-1)}{2^{2j}*2^{-1}}+\summe_{j=1}^{\infty} \frac{3+(+1)}{2^{2j}} [/mm] $$
$$= \ [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{2}{4^{j}*\bruch{1}{2}}+\summe_{j=1}^{\infty} \frac{4}{4^{j}} [/mm] $$
$$= \ [mm] \summe_{j=1}^{\infty} \frac{4}{4^{j}}+\summe_{j=1}^{\infty} \frac{4}{4^{j}} [/mm] $$ usw.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
wow danke :)
$=2*\sum \frac{1}{4^{j-1}$
Ich würde sagen, die Reihe konvergiert. Aber wie beweise ich das jetzt eindeutig?
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Hallo nochmal,
gewöhn Dir ab, Summen ohne Laufindex zu schreiben. Das führt nahezu garantiert zu Unfällen.
> wow danke :)
> [mm]=2*\sum \frac{1}{4^{j-1}[/mm]
Mal genauer: [mm] \cdots=2*\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{4^{j-1}}= 2*\summe_{\blue{j=0}}^{\infty}\left(\bruch{1}{4}\right)^j
[/mm]
> Ich würde sagen, die Reihe konvergiert. Aber wie beweise
> ich das jetzt eindeutig?
Richtig, die Reihe ist konvergent.
Beweisen musst Du nichts mehr, wenn Ihr die Summenformel für die geometrische Reihe hattet.
Wenn Ihr die nicht hattet, sehe ich schwarz für diese Aufgabe. Also lies lieber noch einmal gründlich nach. In Deiner Mitschrift oder im Skript.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
ok danke ich habs gefunden :)
bei c) [mm] $\sum \frac{1}{k} sin\frac{1}{k}$ [/mm] habe ich wieder enorme schwierigkeiten zu sehen, wie man da am besten rangeht :( soetwas mit sinus hatten wir noch nie
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Hallo,
> ok danke ich habs gefunden :)
Wie schön.
> bei c) [mm]\sum \frac{1}{k} sin\frac{1}{k}[/mm] habe ich wieder
> enorme schwierigkeiten zu sehen, wie man da am besten
> rangeht :( soetwas mit sinus hatten wir noch nie
Diese Summe wirst du nicht ermitteln können, aber darum geht es ja auch nicht: Du sollst zeigen, ob sie konvergent ist oder nicht.
Dazu hast Du schon einen Tipp von mir und einen von Fred. Der von Fred ist m.E. besser, aber beide funktionieren.
Lies nochmal meine erste Antwort und die von Fred.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
ok also laut fred
ist ja
[mm] $\sum \vert sin(\frac{1}{k})\vert \le \sum \frac{1}{k}$
[/mm]
richtig?
Da die Reihe $1/k$ divergiert ja. Weiter komme ich aber nicht :( das sagt ja noch nicht direkt etwas über den sinus aus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok also laut fred
> ist ja
> [mm]\sum \vert sin(\frac{1}{k})\vert \le \sum \frac{1}{k}[/mm]
Nein, so hab ich das nicht gemeint.
>
> richtig?
> Da die Reihe [mm]1/k[/mm] divergiert ja. Weiter komme ich aber
> nicht :( das sagt ja noch nicht direkt etwas über den
> sinus aus.
Es ist [mm] |\bruch{1}{k}*sin(\bruch{1}{k})| \le \bruch{1}{k}*\bruch{1}{k}=\bruch{1}{k^2} [/mm] für alle k.
So hab ich mir das gedacht.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
achso ok
ich weiß, dass [mm] $1/k^2$ [/mm] konvergiert also konvergiert auch meine gesuchte Reihe nach Majorantenkriterium.
Wenn ich jetzt aber eine Reihe hätte:
[mm] $\summe [/mm] sin [mm] \frac{1}{k}$
[/mm]
Wie mache ich das dann da?
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Hallo,
> achso ok
> ich weiß, dass [mm]1/k^2[/mm] konvergiert also konvergiert auch
> meine gesuchte Reihe nach Majorantenkriterium.
Jawoll.
> Wenn ich jetzt aber eine Reihe hätte:
> [mm]\summe sin \frac{1}{k}[/mm]
> Wie mache ich das dann da?
Zur Zeit am besten gar nicht.
Die Reihe ist divergent, aber das ist nicht sooo leicht zu zeigen. Am einfachsten geht es über die Reihenentwicklung des Sinus. Ab einem gewissen N gilt für alle n>N: [mm] \sin{\bruch{1}{n}}>\bruch{1}{n}-\bruch{1}{6n^3}. [/mm] Damit gehts dann.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
wie genau geht es dann?
$ [mm] \summe \sin{\bruch{1}{n}}>\summe \bruch{1}{n}-\bruch{1}{6n^3}. [/mm] $
Die summe von 1/n ist ja divergent während [mm] $1/6n^3$ [/mm] konvergent ist. Also ist die differenz zwischen den beiden auch divergent? folglich ist sin 1/n divergent?
aber so einfach geht das wahrscheinlich nicht?
Ich habe hier noch so eine ähnlich reihe wie b)
[mm] $\summe (\frac{-k}{k+1})^k$
[/mm]
[mm] $=\summe \frac{k^{2k}}{(k+1)^{2k}}+\summe \frac{(-k)^{2k-1}}{(k+1)^{2k-1}}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Do 06.12.2012 | | Autor: | Studiiiii |
Die Summe von 1/n (ich vermute du meinst die reihe?) ist konvergent.
Jede Reihe, der einer Nullfolge zugrunde liegt, ist konvergent
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:04 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Die Summe von 1/n (ich vermute du meinst die reihe?) ist
> konvergent.
>
> Jede Reihe, der einer Nullfolge zugrunde liegt, ist
> konvergent
Hä ? Aber das ist doch Unfug !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Do 06.12.2012 | | Autor: | Studiiiii |
mh
oh stimmt.
hab ich was verwechselt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> wie genau geht es dann?
> [mm]\summe \sin{\bruch{1}{n}}>\summe \bruch{1}{n}-\bruch{1}{6n^3}.[/mm]
>
> Die summe von 1/n ist ja divergent während [mm]1/6n^3[/mm]
> konvergent ist. Also ist die differenz zwischen den beiden
> auch divergent? folglich ist sin 1/n divergent?
> aber so einfach geht das wahrscheinlich nicht?
Nimm an, [mm] \summe (\bruch{1}{n}-\bruch{1}{6n^3}) [/mm] wäre konvergent
Dann wäre auch [mm] \sum \bruch{1}{n}= \summe (\bruch{1}{n}-\bruch{1}{6n^3}+\bruch{1}{6n^3}) [/mm] konvergent.
>
> Ich habe hier noch so eine ähnlich reihe wie b)
>
> [mm]\summe (\frac{-k}{k+1})^k[/mm]
> [mm]=\summe \frac{k^{2k}}{(k+1)^{2k}}+\summe \frac{(-k)^{2k-1}}{(k+1)^{2k-1}}[/mm]
>
>
Die Folge [mm] ((\frac{-k}{k+1})^k) [/mm] ist keine Nullfolge, somit ist [mm]\summe (\frac{-k}{k+1})^k[/mm] divergent.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:18 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
zur sinus reihe:
Danke das verstehe ich. Mir ist es bloß noch ein rätsel, wie reverend auf die Anfangsungleichung
$ [mm] \summe \sin{\bruch{1}{n}}>\summe (\bruch{1}{n}-\bruch{1}{6n^3}). [/mm] $
kommt
und zur anderen Reihe:
Wie kann ich denn beweisen, dass die Folge nicht gegen 0 konvergiert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> zur sinus reihe:
> Danke das verstehe ich. Mir ist es bloß noch ein rätsel,
> wie reverend auf die Anfangsungleichung
> [mm]\summe \sin{\bruch{1}{n}}>\summe (\bruch{1}{n}-\bruch{1}{6n^3}).[/mm]
>
> kommt
Unser Reverend wird wohl wissen, dass sin(x)>x [mm] -\bruch{1}{6}x^3 [/mm] für x>0.
Das kann man mit der Potenzreihenentwicklung von sin(x) beweisen.
Die Divergenz der Reihe [mm] \sum [/mm] sin(1/k) kannst Du auch so zeigen:
Es ist [mm] \limes_{k\rightarrow\infty}\bruch{sin(1/k)}{1/k}=1 [/mm] (warum ?)
Dann gibt es ein [mm] k_0 \in \IN [/mm] mit
sin(1/k) [mm] \ge \bruch{1}{2}*\bruch{1}{k} [/mm] für [mm] k>k_0.
[/mm]
Nun bemühe Herrn Albertus Minorant ( der ein Schwipp-Schwager von Cornelius Majorant war).
>
>
> und zur anderen Reihe:
> Wie kann ich denn beweisen, dass die Folge nicht gegen 0
> konvergiert?
[mm] (\bruch{-k}{1+k})^k=(-1)^k(1-\bruch{1}{k+1})^k
[/mm]
Versuche das mal zu zeigen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
achso [mm] $\frac{1}{k}$ [/mm] ist ja divergent also auch 1/2*1/k und sin(1/k)
hmmrc
$ [mm] (\bruch{-k}{1+k})^k=(-1)^k(\frac{k}{k+1})^k [/mm] $
Weiter komme ich leider schon nicht mehr :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:48 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> achso [mm]\frac{1}{k}[/mm] ist ja divergent also auch 1/2*1/k
schreib' keinen Unsinn: [mm] $(1/k)_k$ [/mm] ist Nullfolge und damit konvergent, aber
was Du meinst, ist, dass [mm] $\sum_k [/mm] 1/k$ divergiert. Und damit auch [mm] $\sum_k (1/(2k))=1/2*\sum_k 1/k\,.$
[/mm]
> und
wie Fred mithilfe seiner Abschätzung zeigte, folgt damit die Divergenz von
> sin(1/k)
DER Reihe [mm] $\sum_k \sin(1/k)\,.$
[/mm]
(Wobei ich die Reihen im Summenzeichen schon verkürzt notiert habe!)
Gruß,
Marcel
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Hallo,
> achso [mm]\frac{1}{k}[/mm] ist ja divergent also auch 1/2*1/k und
> sin(1/k)
Den letzten Schritt verstehe ich so noch nicht.
> hmmrc
grbrumuha.
> [mm](\bruch{-k}{1+k})^k=(-1)^k(\frac{k}{k+1})^k[/mm]
> Weiter komme ich leider schon nicht mehr :(
[mm] \cdots=(-1)^k\left(1-\bruch{1}{k+1}\right)^k=\left(\bruch{1}{k+1}-1\right)^k
[/mm]
Wogegen strebt das denn? Tipp: Exponentialfunktion.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:11 Do 06.12.2012 | | Autor: | lukas843 |
Das strebt doch gegen [mm] $\frac{1}{e}$ [/mm] richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Das strebt doch gegen [mm]\frac{1}{e}[/mm] richtig?
Nein.
Die Folge [mm] (a_k)=((-1)^k\left(1-\bruch{1}{k+1}\right)^k) [/mm] konvergiert nicht, aber
[mm] |a_k| \to [/mm] 1/e
Wie auch immer: [mm] (a_k) [/mm] ist jedenfalls keine Nullfolge.
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:22 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Lukas,
reverend ist da - ein wenig - durcheinandergekommen, denke ich.
(Er wollte Dich drauf hinweisen, dass [mm] $(1-1/(k+1))^k \to 1/e\,,$ [/mm] denke ich,
und die letzte Gleichheit braucht er nicht, das verwirrt mehr, als es hilft. Da
hat er in Gedanken einfach was verwechselt - passiert mir auch öfters
mal...)
Du kannst Dir aber auch einfach folgendes überlegen:
Betrachte die Folge [mm] $(\;(-1)^k*(k/(k+1)^k\;)_k\,.$ [/mm] (Das Umschreiben
der Folge in die vorgeschlagene Form bringt hier eigentlich nichts - denn
die andere Folge schreibt man eigentlich eher zu dieser hier um - und dann
schreibt man sie um, wie es unten gemacht wurde, um "mehr" zu sehen!)
Der Käse von eben wurde korrigiert!
Es gilt
[mm] $$(k/(k+1))^k=\frac{1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k} \to [/mm] 1/e > [mm] 1/3\,.$$
[/mm]
Entsprechend werden unendlich viele Folgenglieder der Folge sicher
[mm] $\ge 1/3\,,$ [/mm] aber auch unendlich viele Folgenglieder [mm] $\le [/mm] -1/3$ sein.
(Wir haben ja eine alternierende Folge!)
Damit kann die Folge nicht mehr konvergieren!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
und nur, weil es gerade so schön ist (das ganze hier brauchst Du aber nicht
mehr, wenn Du das andere verstanden hast):
Man kann auch so vorgehen:
Es gilt für alle [mm] $k\,$
[/mm]
[mm] $$(1-1/k^2)^k \le [/mm] 1$$
sowie
[mm] $$(1-1/k^2)^k \ge 1-k/k^2=1-1/k\,.$$
[/mm]
Es folgt
[mm] $$(1-1/k^2)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} 1\,.$$
[/mm]
Ferner gilt aber [mm] $(1-1/k)^k*(1+1/k)^k=(1-1/k^2)^k\,,$ [/mm] und daher folgt
[mm] $$(1-1/k)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{n \to \infty} (1-1/n^2)^n}{\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m}=\frac{1}{e}\,.$$
[/mm]
Mit diesem Wissen ergibt sich auch
[mm] $$(1-1/(k+1))^k=\frac{(1-1/(k+1))^{k+1}}{1-1/(k+1)} \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{m \to \infty}(1-1/m)^m}{\lim_{p \to \infty}(1-1/(p+1))}=\frac{1/e}{1}=\frac{1}{e}$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:53 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> und nur, weil es gerade so schön ist (das ganze hier
> brauchst Du aber nicht
> mehr, wenn Du das andere verstanden hast):
>
> Man kann auch so vorgehen:
> Es gilt für alle [mm]k\,[/mm]
> [mm](1-1/k^2)^k \le 1[/mm]
> sowie
> [mm](1-1/k^2)^k \ge 1-k/k^2=1-1/k\,.[/mm]
>
> Es folgt
> [mm](1-1/k^2)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} 1\,.[/mm]
>
> Ferner gilt aber [mm](1-1/k)^k*(1+1/k)^k=(1-1/k^2)^k\,,[/mm] und
> daher folgt
> [mm](1-1/k)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{n \to \infty} (1-1/n^2)^n}{\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m}=\frac{1}{e}\,.[/mm]
>
> Mit diesem Wissen ergibt sich auch
> [mm](1-1/(k+1))^k=\frac{(1-1/(k+1))^{k+1}}{1-1/(k+1)} \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{m \to \infty}(1-1/m)^m}{\lim_{p \to \infty}(1-1/(p+1))}=\frac{1/e}{1}=\frac{1}{e}[/mm]
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
..... das kommt mir im Zusammenhang mit Dir bekannt vor ...
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > und nur, weil es gerade so schön ist (das ganze hier
> > brauchst Du aber nicht
> > mehr, wenn Du das andere verstanden hast):
> >
> > Man kann auch so vorgehen:
> > Es gilt für alle [mm]k\,[/mm]
> > [mm](1-1/k^2)^k \le 1[/mm]
> > sowie
> > [mm](1-1/k^2)^k \ge 1-k/k^2=1-1/k\,.[/mm]
> >
> > Es folgt
> > [mm](1-1/k^2)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} 1\,.[/mm]
>
> >
> > Ferner gilt aber [mm](1-1/k)^k*(1+1/k)^k=(1-1/k^2)^k\,,[/mm] und
> > daher folgt
> > [mm](1-1/k)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{n \to \infty} (1-1/n^2)^n}{\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m}=\frac{1}{e}\,.[/mm]
>
> >
> > Mit diesem Wissen ergibt sich auch
> > [mm](1-1/(k+1))^k=\frac{(1-1/(k+1))^{k+1}}{1-1/(k+1)} \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{m \to \infty}(1-1/m)^m}{\lim_{p \to \infty}(1-1/(p+1))}=\frac{1/e}{1}=\frac{1}{e}[/mm]
>
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Hallo Marcel,
>
> ..... das kommt mir im Zusammenhang mit Dir bekannt vor
ja, kein Wunder. ( Viele Wege führen nach Rom. )
Ich find' aber, dass man das öfters mal so zeigen sollte, auch, wenn's fast
trivial ist, und "der andere Weg" natürlich keinesfalls so komplex ist, dass
das oben vorgeschlagene besser wäre. 
Mich begeistert diese Methodik halt immer noch ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:58 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > und nur, weil es gerade so schön ist (das ganze hier
> > > brauchst Du aber nicht
> > > mehr, wenn Du das andere verstanden hast):
> > >
> > > Man kann auch so vorgehen:
> > > Es gilt für alle [mm]k\,[/mm]
> > > [mm](1-1/k^2)^k \le 1[/mm]
> > > sowie
> > > [mm](1-1/k^2)^k \ge 1-k/k^2=1-1/k\,.[/mm]
> > >
> > > Es folgt
> > > [mm](1-1/k^2)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} 1\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ferner gilt aber [mm](1-1/k)^k*(1+1/k)^k=(1-1/k^2)^k\,,[/mm] und
> > > daher folgt
> > > [mm](1-1/k)^k \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{n \to \infty} (1-1/n^2)^n}{\lim_{m \to \infty}(1+1/m)^m}=\frac{1}{e}\,.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Mit diesem Wissen ergibt sich auch
> > > [mm](1-1/(k+1))^k=\frac{(1-1/(k+1))^{k+1}}{1-1/(k+1)} \stackrel{k \to \infty}{\longrightarrow} \frac{\lim_{m \to \infty}(1-1/m)^m}{\lim_{p \to \infty}(1-1/(p+1))}=\frac{1/e}{1}=\frac{1}{e}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> >
> > Hallo Marcel,
> >
> > ..... das kommt mir im Zusammenhang mit Dir bekannt vor
>
> ja, kein Wunder. ( Viele Wege führen nach Rom. )
Richtig, da gings um Rom.
>
> Ich find' aber, dass man das öfters mal so zeigen sollte,
Ja, da hast Du recht.
FRED
> auch, wenn's fast
> trivial ist, und "der andere Weg" natürlich keinesfalls
> so komplex ist, dass
> das oben vorgeschlagene besser wäre.
>
> Mich begeistert diese Methodik halt immer noch
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:18 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo,
>
> > achso [mm]\frac{1}{k}[/mm] ist ja divergent also auch 1/2*1/k und
> > sin(1/k)
>
> Den letzten Schritt verstehe ich so noch nicht.
>
> > hmmrc
>
> grbrumuha.
>
> > [mm](\bruch{-k}{1+k})^k=(-1)^k(\frac{k}{k+1})^k[/mm]
> > Weiter komme ich leider schon nicht mehr :(
>
> [mm]\cdots=(-1)^k\left(1-\bruch{1}{k+1}\right)^k=\left(\bruch{1}{k+1}-1\right)^k[/mm]
>
> Wogegen strebt das denn? Tipp: Exponentialfunktion.
weil [mm] $\left((-1)^k*\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k\right)_n$ [/mm] zwei Häufungspunkte hat, von denen nur deren Vorzeichen sich voneinander
unterscheiden und von denen einer (und damit auch beide) nicht Null ist:
Das Ding da strebt gar nicht gegen irgendwas. Aber der Betrag der Folge...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:13 Do 06.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
> achso [mm]\frac{1}{k}[/mm] ist ja divergent also auch 1/2*1/k und
> sin(1/k)
>
>
> hmmrc
> [mm](\bruch{-k}{1+k})^k=(-1)^k(\frac{k}{k+1})^k[/mm]
> Weiter komme ich leider schon nicht mehr :(
irgendwie ist Dir "der Trick" anscheinend nicht klar:
[mm] $$\frac{k}{k+1}=\frac{(k\red{+1})\blue{-1}}{k+1}=\frac{k+1}{k+1}-\frac{1}{k+1}=1-\frac{1}{k+1}$$
[/mm]
Generell, wenn Du sowas nicht siehst: Die Rechnung von rechts nach links
nachzuvollziehen: Damit haben die wenigsten Probleme. Alles andere - wie
hier das "einschmuggeln der/einer additiven Null" (manchmal gibt's auch
ein "einschmuggeln der/einer multiplikativen Eins") - das sind Übungs- und
Erfahrungssachen!
Edit: Nebenbei: Forme besser so um:
[mm] $$(k/(k+1))^k=\bigg(\frac{1}{\frac{k+1}{k}}\bigg)^k=\frac{1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{k}\right)^k}$$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Do 06.12.2012 | | Autor: | fred97 |
Tipps:
zu a):
finde ein a>o mit: [mm] \frac{1}{\wurzel{k(k+1)}} \ge \frac{a}{k} [/mm] für alle k.
zu b): geometrische Reihe(n)
zu c): |sin(x)| [mm] \le [/mm] |x| für alle x [mm] \in \IR
[/mm]
FRED
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